Числовые ряды Выполнила: Герасимова Мария хим.факультет МПГУ 1 курс, 1 группа 2014 г.

1. Основные понятия Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда, выраженный как функция его номера (59.1)

Примеры 1. Ряд – нельзя считать заданным, а ряд можно: его общий член задается формулой 2. Ряд сходится, его сумма равна Ряд расходится, 4. Ряд расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,... не имеет предела.

2. Важные свойства рядов т.е ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1)

соответственно.

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k - наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n > k будет выполняться равенство

3. Ряд геометрической прогрессии.

4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

5. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами. 5.1 Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

По определению предела последовательности для всех Пример:

Решение Ещё один пример: Решение Следовательно, данный ряд сходится.

5.2. Признак Даламбера В отличии от признаков сравнения признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

На основании следствия из необходимого признака ряд (59.1) сходится

Пример: Решение: Находим

5.3. Радикальный признак Коши.

Пример: Решение:

5.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

Пример: Решение:

6. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Пример: Решение:

6.2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Знакочередующийся ряд является честным случаем знакопеременного ряда. содержащий бесконечное множество положит. и бесконечное множество отриц. членов, называется знакопеременным.

Пример: Решение:

6.3. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Св-ва абсолютно сходящихся рядов. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов,сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:

1.) Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле) 2.) Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленное складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 3.) понимают ряд вида (или соответственно - ) +