Лекция 7. Характеристики случайных сигналов (процессов).

Случайный процесс u(t) - это процесс, произвольно изменяющийся во времени и принимающий произвольные значения. В любой момент времени его значение представляет собой случайную величину. Случайным процессом может быть не только сложная функция времени. Если у гармонического сигнала один из параметров (амплитуда, частота или фаза) будет случайным (неизвестным нам), то это будет случайный сигнал. Непрерывная случайная величина Х может принимать любые значения х из некоторого интервала, даже бесконечного. Дискретная случайная величина Х может принимать только конечное множество значений х 1, х 2, …х к из некоторого интервала.

u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t) u n (t) 0 t1t1 t2t2 tktk U 1 (t 1 ) U 2 (t 1 ) U 3 (t 1 ) U n (t 1 ) U 1 (t 2 ) U 2 (t 2 ) U 3 (t 2 ) U n (t 2 ) U 1 (t k ) U 2 (t k ) U 3 (t k ) U n (t k ) u(t) t

u i (t)- i-я реализация случайного процесса Совокупность всех реализаций случайного процесса- ансамбль реализаций- {u 1 (t), u 2 (t), … u n (t)}. t i - сечение случайного процесса в момент времени t i (i-е сечение) Значения случайного процесса в сечении (в любой момент времени t i )- {u 1 (t i ), u 2 (t i ), … u n (t i )} образуют случайную величину U(t i )= U i со своим законом распределения и другими характеристиками. И это справедливо для любого момента времени (для любого сечения). Например, U 1 - случайная величина в 1-м сечении (в момент времени t 1 ) со значениями {u 1 (t 1 ), u 2 (t 1 ), … u n (t 1 )}.

В любом сечении (у случайной величины в этом сечении) можно ввести одномерные характеристики как у случайной величины: р(u 1, t 1 ), F(u 1, t 1 ) - одномерные ФПВ и ФРВ случайной величины U 1 (в 1-м сечении); р(u 2, t 2 ), F(u 2, t 2 ) - одномерные ФПВ и ФРВ случайной величины U 2 (во 2-м сечении) и т.д. Для более точного описания случайного процесса можно ввести двумерную характеристику, общую для двух случайных величин (для двух сечений процесса): р(u 1, u 2 ; t 1, t 2 ), F(u 1, u 2 ; t 1, t 2 ) - двумерные ФПВ и ФРВ случайных величин U 1 и U 2 (в 1-м и 2-м сечениях);

Увеличивая полноту описания случайного процесса можно вести многомерную характеристику случайного процесса, общую для многих случайных величин (для многих сечений процесса): : р(u 1, u 2, … u k ; t 1, t 2, … t k ), F(u 1, u 2, … u k ; t 1, t 2, … t k ) - k-мерные ФПВ и ФРВ случайных величин U 1, U 2, … U k (в 1-м, 2-м, …k-м сечениях процесса). р(u 1, u 2, … u k ; t 1, t 2, … t k ) = Р(U 1 u 1, U 2 u 2, …U k u k ; t 1, t 2, … t k ). F(u 1, u 2, … u n ; t 1, t 2, … t n ) = Р(U 1 u 1, U 2 u 2, …U n u n ; t 1, t 2, … t k ). или t 1 : Р(U 1 u 1 ), t 2 : Р(U 2 u 2 ), … t k : Р(U k u k ). t 1 : Р(U 1 u 1 ), t 2 : Р(U 2 u 2 ), … t k : Р(U k u k ). Это довольно сложные характеристики, одновременно описывающие случайные величины во многих сечениях случайного процесса.

Стационарные случайные процессы В узком смысле: если k-мерная ФПВ не зависит от сдвига сечений (времени взятия сечений) во времени. р(u 1, u 2, … u k ; t 1, t 2, … t k ) = р(u 1, u 2, … u k ; t 1 +, t 2 +, … t k +, ), где - любое значение Смысл- во всех сечениях законы распределения случайных величин одинаковы и для характеристики процесса достаточно одномерных ФПВ и ФРВ: р(u), F(u). В широком смысле: если математическое ожидание и дисперсия случайного процесса не зависят от времени и функция корреляции зависит только от интервала времени между двумя моментами. m(t)=const; 2 (t)=const; В(t 1, t 2 )=B( )| =t2-t1 У стационарного случайного процесса ФПВ р(u), ФРВ F(u), математическое ожидание М(U) и дисперсия D(U) не зависят от времени, т.е. они определяются также, как и для случайной величины.

Эргодические случайные процессы Это такие стационарные случайные процессы, у которых статистическое усреднение по времени одной реализации дает такой же результат, как усреднение по всем реализациям (по ансамблю реализаций). Это означает, что все реализации эргодического процесса похожи друг на друга, поэтому расчеты характеристик можно проводить по любой одной реализации. Кроме ФПВ, ФРВ, математического ожидания и дисперсии для описания случайного процесса применяются еще две функции: функция корреляции В u ( ) и энергетический спектр (спектральная плотность мощности) W u ( ).

Функция корреляции случайного процесса В u ( ) характеризует степень взаимосвязи между значениями случайного процесса в различные моменты времени t и t+. Для эргодического случайного процесса В u ( ) вычисляется путем усреднения по времени одной реализации случайного процесса: В u ( ) = lim 1/t н u k (t) u k (t+ ) dt tн t н - время наблюдения реализации u k (t). Спектральная плотность мощности случайного процесса W( ) характеризует распределение мощности случайного процесса (сигнала) по частоте. W( ) = lim P/ 0 P- мощность случайного процесса, приходящаяся на полосу частот

Свойства функции корреляции: 1) В(- ) = В( ) – четная функция 2) В(0) = В max = 2. 3) Нормированная функция корреляции: r(x) = В( )/В max = В( )/В(0) = В( )/ 2.. r(0)= r max = 1.

Теорема Винера-Хинчина. Корреляционная функция и энергетический спектр стационарного случайного процесса связаны между собой парой преобразования Фурье: В( ) = 1/(2 ) W( ) exp(j ) d W( ) = В( ) exp(-j ) d

«Белый шум» Это стационарный случайный процесс с бесконечным спектром, у которого спектральная плотность мощности на всех частотах одинакова. W(ω)=W 0 =const B( )=W 0 /(2 ) exp(jω )dω= W 0 ( ) (t)- дельта-функция- бесконечно узкий, бесконечный по амплитуде видеоимпульс с единичной площадью. (t)=lim u(t) 0 ω 0 W(ω) W0W0 0 t 1/ u(t) П=1 В( ) 0 W0W0