Конкурс «Занимательная логика» 1-5 для учащихся 9 классов 6-10 для учащихся классов

1. Числовой ребус «ГРОМ ГРЕМИ» Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами разные цифры. + СМЕХ ГРОМ ГРЕМ И

Решение 1. Сразу видно, что Г = Рассмотрим разряд тысяч. С учетом того, что Г = 1, в нем может быть С + 1 = 10 + Р или С = 10 + Р (во втором варианте еще одна единица переходит «в уме» из разряда сотен). Эти варианты могут быть в трех случаях: 1) С = 9, Р = 0; 2) С = 9, Р = 1; 3) С = 8, Р = 0. Так Р не может быть равно 1, то Р = 0, а С = 9 или С = В разряде сотен можно увидеть, что М < 9, так как при М = 9 в этом разряде будет Е = 0, а это невозможно, поскольку Р = 0. Следовательно, М < 9 и Е = М Из двух последних выражений следует, что из разряда сотен в разряд тысяч ничего не переходит, значит С = 9 (см. пункт 2).

Решение 5. Рассматривая сложение в разряде десятков, получим: О = 8, так как Е = М + 1 и О С (С = 9). Тогда: 6. Так как Е = М + 1, то из оставшихся нерасшифрованными цифр возможны 5 вариантов значения М: 2, 3, 4, 5 и 6. Рассмотрев каждый из этих вариантов, можно обнаружить, что только М = 5 не приводит к противоречию, а дает следующее решение ребуса: + 9МЕХ 1 0 8М 10ЕМИ

2. Из Елкино в Палкино Между четырьмя местными аэропортами: Елкино, Палкино, Веревкино и Булкино ежедневно выполняются авиарейсы. Расписание рейсов: Аэропорт вылета Аэропорт прилета Время вылета Время прилета Елкино Веревкино 7:3010:50 Булкино Елкино 8:1510:35 Палкино Веревкино 11:3513:25 Веревкино Елкино 12:1014:20 Елкино Булкино 12:3014:30 Булкино Палкино 14:1016:20 Елкино Палкино 14:1516:40 Веревкино Палкино 14:2016:30 Палкино Елкино 16:1018:50 Палкино Булкино 18:4020:45 Вы оказались в аэропорту Елкино в 6 часов утра. Каково самое ранее время, когда вы сможете попасть в аэропорт Палкино? Время на пересадку из самолета в самолет не учитывайте.

Решение В Палкино прилетают три рейса: из аэропорта Булкино в 16:20, из аэропорта Веревкино в 16:30 из аэропорта Елкино в 16:40. Можно сэкономить 10 минут по сравнению со временем прилета прямого рейса, если полететь через аэропорт Веревкино. Для этого нужно вылететь из аэропорта Елкино в Веревкино в 7:30 и там сесть на самолет, отправляющийся в 14:20 в Палкино. В этом случае будет 3 часа 30 минут на пересадку. (Через Булкино долететь из аэропорта Елкино в аэропорт Палкино нельзя, так как в момент посадки самолета в аэропорту Булкино – 14:30 «стыковочный» самолет уже улетит.) Ответ: 16:30.

3. На олимпиаде по информатике Об учениках, занявших первые пять мест на олимпиаде по информатике, имеется пять высказываний: 1) первое место занял Вася, а Юра второе; 2) Саша занял второе место, а Вася пятое; 3) второе место занял Иван, а Гриша оказался четвертым; 4) на первом месте был Гриша, а Юра четвертым; 5) Юра был четвертым, а Иван вторым. Известно, что в каждом высказывании одно утверждение верное, а второе нет. Кто какое занял место? 2 1 3

Решение Составим таблицу распределения мест согласно высказываниям: Вася ГришаИван СашаЮра Высказывание 112 Высказывание 252 Высказывание 332 Высказывание 414 Высказывание 524 Ключевыми являются высказывания, характеризующие того, кто занял второе место (так как число 2 встречается в таблице чаще других). Иван не может занять второе место – тогда все высказывания о Юре и Саше должны быть ложными, а истинными оказались бы два взаимоисключающих суждения о Васе в высказываниях 1 и 2. Поэтому суждения о втором месте Ивана ложны, а о четвертом месте Юры и третьем Гриши истинны. Значит, Вася занял первое место, Саша второе (в высказывании 2 суждение о пятом месте Васи ложно, значит, первое суждение истинно), Ивану досталось пятое место.

монета, одна фальшивая Среди 101 одинаковой по виду монеты есть одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания с помощью чашечных весов без гирь определить, легче или тяжелее настоящих фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.

5. Активные ученики Однажды в одной из стран инспектор учебного управления, проверявший одну из школ, задал ученикам класса 10 вопросов. Во всех случаях в ответ поднимали руку все ученики. И хотя школьный учитель каждый раз выбирал разных учеников, ответ всегда был правильным. Как это получалось? (Считаем, что так, чтобы все ученики знали ответы на все вопросы, бывает очень редко.) Учитель предварительно договорился с учениками, чтобы они вызывались отвечать независимо от того, знают ответ или не знают. Но те, кто знает ответ, должны поднимать правую руку, а те, кто не знает, левую (или наоборот). Учитель каждый раз выбирал другого ученика, но всегда того, кто поднимал «правильную» руку.

Штирлиц попал в XXI век. Ему для связи дали IP-адрес, но ошибке он порвал листок с адресом на 4 части: Разведчик обратился к школьнику, изучающему информатику, и тот рассказал ему, что обычно IP-адреса записываются в виде четырех неотрицательных целых чисел, меньших 256 и разделенных точками. После этого Штирлиц восстановил нужный адрес. А вы сможете это сделать? 6. Штирлиц и IP-адрес

Решение IP-адрес записывается в виде четырех неотрицательных целых чисел, меньших 256, разделенных точками. Первую из имеющихся частей (137.72) нельзя продолжить ни одним из остальных фрагментов (убедитесь в этом самостоятельно). Значит, искомый адрес заканчивается на «137.72». Перед числом 137 не могут быть записаны никакие цифры, т.е. перед ним должна стоять точка. Следовательно, предпоследний фрагмент – третий (35.), а вся найденная часть адреса выглядит так: Далее, перед числом 35 не может быть записано (после точки) двузначное число. Значит вторая часть адреса – 1.2, а весь искомый адрес такой:

7. Числовой ребус «Восстановить пример» Замените звездочки недостающими цифрами, чтобы пример на умножение стал верным: × **7 3** *0*3 *1* *5* *7**3 Любой звездочкой может быть закодирована любая цифра.

Решение Для удобства описания решения заменим звездочки буквами (при этом будем иметь в виду, что разные буквы могут соответствовать одним и тем же цифрам): × AB7 3CD E0F3 G1H I5J K7LM3 Тогда: 1. Видно, что D может быть равно только J = 1 (последняя цифра произведения 3 на 7).

Решение 3. Запишем уже известные цифры в пример: × AB7 3C9 E0F3 G1H I51 K7LM3 Тeпepь видно, что E = G = Так как AB7 × 9 = 10F3, то A = 1 и В = 1. Окончательная запись: ×

8. Торговка и пирожки Шла торговка на рынок продавать пирожки. По дороге она проголодалась и съела сначала пирожок и половину остатка, затем еще пирожок и пол-остатка, затем еще пирожок и пол-остатка. А затем по дороге воры украли 7 пирожков и пол-остатка. На рынок торговка принесла 1 пирожок. Сколько пирожков было? (задание для учащихся начальной школы и учеников 5–7-х классов) Решение Лучше решать задачу, идя «с конца». Так как после того, как воры украли 7 пирожков и пол-остатка, торговка принесла на рынок 1 пирожок, то до этого у нее было = 9 пирожков. Продолжая аналогичные рассуждения и расчеты, можно получить число пирожков, которое было у торговки первоначально, – 79.

9. Встреча друзей Шесть друзей Моисеев, Потапов, Ефимов, Дмитриев, Алексеев и Осипов закончили один университет. Однажды они снова встретились в санатории на берегу Черного моря и весь вечер, сидя за круглым столом, рассказывали о своей работе, о планах на будущее. Один из них стал видным литератором, другой биологом, третий инженером, четвертый капитаном, пятый юристом, шестой физиком. За столом они расположились так: юрист сел против Ефимова, литератор против Осипова, который расположился между капитаном и юристом, биолог против Дмитриева, рядом с литератором и слева от Алексеева. Инженер оказался между капитаном и литератором. Моисеев поместился рядом с биологом, напротив физика. Попробуйте определить специальность каждого из друзей. Моисеев литератор, Потапов биолог, Ефимов инженер, Дмитриев капитан, Алексеев юрист, Осипов физик.

10. Последовательности цифр Последовательность строк, состоящих из цифр, строится по следующему правилу. В начальный момент в строке записана цифра 0. На каждом из последующих шагов в очередную строку записывается удвоенная предыдущая строка, а в конец строки приписывается очередная цифра (на i-м шаге приписывается цифра i). Ниже показаны первые строки, сформированные по описанному правилу: (0) 0 (1) 001 (2) (3) Всего получены 10 строк. Определите: 1) на какие 10 цифр заканчивается последняя строка; 2) сколько раз в последней строке встречается цифра 4; 3) сколько всего цифр в последней строке; 4) какая цифра стоит в последней строке на 1012-м месте (слева направо); 5) сколько всего цифр представлено во всех строках.

Решение 1. Последняя строка заканчивается на 10 цифр: Цифра 4 первый раз появляется в строке (4), в следующей строке она встречается 2 раза и т.д., поэтому в последней строке цифра 5 встретится 32 раза. 3. В последней строке 1023 цифры. Можно подсчитать количество вхождений каждой цифры, как это сделано для цифры 4 (для остальных – аналогично), а потом сложить. Но экономнее обосновать, что при заданном рекуррентном соотношении получается d i = 2 * d i – = 2 i + 1 – 1, откуда для последней строки (9): d 9 = 2 10 – 1 = 1023 ( d i – длина i -й строки). 4. В последней строке последние 10 цифр мы знаем, а перед ними идет комбинация из цифр «10», поэтому на 1012-м месте стоит цифра 1 (далее – цифра 0, а затем 10 цифр от 0 до 9). 5. Используя результат пункта 3, получим, что суммарное количество цифр во всех строках равно: 2 1 – – – – – – – – – – 1 = (2 11 – 2) – 10 = = 2048 – 12 = 2036.