Кафедра высшей математики Слайд – лекция Производная и дифференциал по дисциплине «Математика» для специальностей 5В – Радиотехника, электроника и телекоммуникации 5В «Теплоэнергетика» 5В «Электроэнергетика» 5В «Экономика» Автор д.т.н., профессор Кажикенова С.Ш.

План лекции 1Определение производной; 2 Дифференцируемая функция; 3 Обозначения для производной; 4 Дифференциал функции; 5 Пример нахождения дифференциала; 6 Правила дифференцирования; 7 Таблица производных; 8 Физический смысл производной; 9 Экономический смысл производной; 10 Приложения производной; 11 Правило Лопиталя.

Определение производной Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Дифференцируемая функция Нахождение производной называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке x имеет конечную производную, то функцию называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Обозначения для производной Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Дифференциал функции Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)х, dy=ƒ'(х)dj.

Пример нахождения дифференциала Найти дифференциал функции Первый этап. Найдем производную: Второй этап. Запишем дифференциал для функции:

Правила дифференцирования Пусть даны u(x), v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции Пусть даны функции y = f(u) и u = φ(x), тогда y = f(φ(x)) есть сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Производная сложной функции Теорема. Если функция u = φ(x) имеет производную в точке х; а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция имеет производную, которая находится по формуле:

Производная сложной функции Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько: тогда

Таблица производных у=f(х)y = f(u),u = φ(x)

Таблица производных у=f(х)y = f(u),u = φ(x)

Таблица производных у=f(х)y = f(u),u = φ(x)

Геометрический смысл производной Производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции y=f(x)

Физический смысл производной Производная определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.

Экономический смысл производной Производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент времени.

Приложение производной Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке Мо(х 0 ; f(х 0 )) Уравнениe нормали к кривой у=f(х) в точке Мо(х 0 ; f(х 0 ))

Приложение производной Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используют понятие эластичности функции. Определение. Эластичностью функции Е х (у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при

Дифференциальное исчисление в экономическом анализе Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс.тенге) и выпуском продукции х (млрд.тенге) выражается функцией Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.тенге.

Дифференциальное исчисление в экономическом анализе Решение. Согласно формуле эластичность себестоимости будет равна При х=60, т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн.тенге, увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида Если, непрерывные и дифференцируемые в окрестности точки х=х 0, функции стремятся к нулю (или при и существует Тогда справедливо равенство

Норма контроля 1. Сложные, параметрически заданные функции. 2. Производные сложных функций. 3. Дифференциал функции, его свойства и приложения. 4. Производные высших порядков. 5. Исследование с помощью производных первого и второго порядка (возрастание, убывание, экстремум, выпуклость, вогнутость, точки перегиба).

Список литературы 1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.-М.: с. 2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике с контрольными работами. М.: Айрис- пресс, с. 3 Мустахишев К.М., Ералиев С.Е., Атабай Б.Ж. Математика. Полный курс. Алматы, с. 4 Кажикенова С.Ш. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие.- Караганда: Изд-во КарГУ, – 257 с.