Фрактальный анализ (ФА) новый способ измерения неправильных естественных объектов, или естественных систем,

Бенуа Мандельброт ( фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава 14 октября 2010, Кембридж) фр.20 ноября 1924Варшава 14 октября 2010Кембридж Бенуа Мандельброта называют отцом фракталов и человеком, сумевшим покорить хаос. Он относился к той категории гениев, которые имеют уникальный талант лишь в одной сфере: Мандельброт обладал потрясающим воображением и мог представить отличные от привычного всем трехмерного пространства.

Мандельброт дал подробное описание самоподобным структурам, снабдив свою книгу большим количеством иллюстраций. Именно в этот период времени он придумал и ввел в обращение термин «фрактал» (лат. «разбитый, сломанный»). Именно Бенуа смог показать, как выглядит четырехмерное пространство – фрактальное лицо хаоса. Математический гений обнаружил, что в состав четвертого измерения входят не только первые три, но и интервалы между ними.

Фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы. Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода.

Самоподобие фрактального объекта связано с его масштабной инвариантностью. Свойства фрактала не зависят от масштаба приближения. Например, ветвь дерева можно рассматривать как уменьшенную копию ствола. Фрактальная размерность отлична от топологической и в общем случае является нецелой. Это связано с тем, что фракталы не полностью заполняют то пространство, которому принадлежат.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал. Рассмотрим на примере один из таких фрактальных объектов – триодную кривую Коха. 1. Геометрические фракталы

Кривая, придуманная Гельгом фон Кохом в 1904 году, является фракталом размерности d 1,2618 Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3. Мы получим ломаную, состоящую из 4 звеньев с общей длиной 4/3, - так называем первое поколение. Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена отбросить и заменить среднюю часть. Соответственно длина второго поколения будет 16/9, третьего – 64/27. если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триодная кривая Коха. Кривая Коха

Рассмотрим теперь св-ва триадной кривой Коха и выясним, почему же фракталы называли «монстрами». Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с числом поколений ее длина стремится к бесконечности. Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, - эта кривая не гладкая. Длина и гладкость – фундаментальные св-ва кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского, Римана. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы, поэтому кривая Коха оказалась чудовищем – «монстром» среди гладких обитателей традиционных геометрии.

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. 2. Алгебраические фракталы

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта. Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки с прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например ) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i]остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность вышла за пределы круга.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. 3. Стохастические фракталы

Фрактальный анализ рынка Форекс Фрактальный анализ появился достаточно давно, но впервые его описал и начал активно применять доктор Билл Вильямс. Им была проделана огромная научная работа, в результате чего появилось утверждение, что движение рынка напоминает хаотичные системы. Вильямс утверждал, что движение крови, цена на хлопок и береговая линия имеют одинаковую структуру. По мнению Билла Вильямса, рынок – это не линейная, а хаотическая система. Он считал, что глупо ориентироваться на стандартные индикаторы, в основе которых лежат линейные функции. Кроме того, Вильямс отметил, что хаос постоянен, и стабильность на рынке – это временное явление. При помощи компьютерного моделирования вывели фракталы, а также определили обратную связь, описывающую структуру рынка. Фрактал – это, по сути, повторяющаяся формация на каких-либо графиках. Фрактальный анализ рынка основывается на утверждении, что все фракталы (береговой линии и любых рынков) обладают единой природой происхождения.

Фрактальный анализ рынка Форекс На графике фрактал формируется как минимум из пяти баров. Средний фрактал является самым низким или высоким. Одинаковые бары могут образовывать фрактал вверх и вниз. В редких случаях один и тот же бар может одновременно формировать два фрактала. Делая фрактальный анализ Форекс нужно учитывать минимум цены при фрактале вниз и максимум при фрактале вверх. Фрактальный старт формируется после образования фрактала в одном направлении и следующим за ним фракталом в противоположном направлении. В свою очередь, фрактальный сигнал образуется на обратной от фрактального старта стороне.

Фрактальные картинки

Фракталы в интернете

Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение цен на шерсть.

Фрактальные модели применяют в медицине для ранней диагностики раковых опухолей; в геологии и почвоведении; в материаловедении при изучении процессов разрушения изделий; в ядерной физике и астрономии для изучения элементарных частиц, распределения галактик во Вселенной, процессов на Солнце; в информатике для сжатия данных и улучшения трафика в сети Интернет; для анализа колебаний рыночных цен в экономике, сердечного ритма в кардиологии, погоды в метеорологии; в химии, искусствоведении… перечень можно продолжать бесконечно.