ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой- нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Ответ: 90 o. Куб 1

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ: 45 o. Куб 2

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. Ответ: 90 o. Куб 3

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BC 1 D. Решение: Обозначим O середину BD. Искомым линейным углом будет угол COC 1. В прямоугольном треугольнике COC 1 имеем CC 1 = 1; CO = Следовательно, Куб 4

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и AB 1 D 1. Решение: Плоскость AB 1 D 1 параллельна плоскости BC 1 D. Из предыдущей задачи следует, что Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1. Ответ: 90 o. Куб 6

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC 1 и BB 1 D 1. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника ACB 1 перпендикулярна диагонали BD 1, которая проходит через центр O этого треугольника. Искомым линейным углом будет угол B 1 OE, который равен 60 o. Ответ: 60 o. Куб 7

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D 1 и BA 1 D. Ответ: 90 o. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника BDA 1 перпендикулярна диагонали AC 1, которая проходит через центр этого треугольника. Следовательно, данные плоскости перпендикулярны. Искомый угол равен 90 o. Куб 8

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть O – середина BD. Искомый угол равен углу A 1 OC 1. Имеем Используя теорему косинусов, получим Ответ: Куб 9

В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD. Ответ: Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом является угол AED. В треугольнике AED имеем: AD = 1, AE = DE = По теореме косинусов находим Пирамида 1

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC. Ответ: Решение: Пусть E, F – середины ребер BC и AD, O – центр основания. Искомым линейным углом является угол SEF. В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO =, SE = Следовательно, Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: Пусть E – середина ребра SB. Искомым линейным углом является угол AEC. В треугольнике AEC имеем: AC =, AE = CE = По теореме косинусов находим Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC. Ответ: Решение: Пусть E, F – середины ребер AD, BC. Искомым линейным углом является угол ESF. В треугольнике ESF имеем: EF = 1, SE = SF = По теореме косинусов находим Пирамида 4

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между плоскостями ABC и SBC. Ответ: Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC. Искомым линейным углом является угол SGO. В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG =, SG = Следовательно, Пирамида 5

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на сторону SB. Искомым линейным углом является угол AHC. В прямоугольном треугольнике AHC имеем: AC =, AH = CH = По теореме косинусов находим Пирамида 6

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: Продолжим ребра AB и DC до пересечения в точке G. В треугольниках SAG и SDG опустим высоты AH и DH на сторону SG. Искомым линейным углом является угол AHD. В треугольнике AHD имеем: AD = 2, AH = DH = По теореме косинусов находим Пирамида 7

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SDE. Ответ: Решение: Пусть G, H – середины ребер AB, DE. Искомым линейным углом является угол GSH. В треугольнике GSH имеем: GH =, SG = SH = По теореме косинусов находим Пирамида 8

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A 1 B 1 C. Решение: Обозначим O, O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1. Искомым линейным углом будет угол OCO 1. В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно, Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB 1. Решение: Обозначим O - середину ребра AC. Искомым линейным углом будет угол BOB 1. В прямоугольном треугольнике BOB 1 имеем BB 1 = 1; BO = Следовательно, Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB 1 C 1. Ответ: 90 o. Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и BCC 1. Ответ: 60 o. Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACB 1 и A 1 C 1 B. Решение: Данные плоскости пересекаются по прямой DE. Обозначим G середину DE и F середину AC. Угол BGF будет искомым. В треугольнике BGF имеем BF = ; BG = FG = По теореме косинусов, имеем Призма 5

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ABB 1. Ответ: 90 о. Призма 6

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABB 1 и BCC 1. Ответ: 120 о. Призма 7

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABB 1 и CDD 1. Ответ: 60 о. Призма 8

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и CDD 1. Ответ: 90 о. Призма 9

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и DEE 1. Ответ: 30 о. Призма 10

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и CEE 1. Ответ: 60 о. Призма 11

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD 1. Ответ: В прямоугольном треугольнике O 1 GO имеем: OO 1 = 1, OG =. Следовательно, Решение: Искомый угол равен углу O 1 GO, где O, O 1 – центры оснований призмы, G – середина BC. Призма 12

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCE 1. Ответ:. В прямоугольном треугольнике E 1 CE имеем: EE 1 = 1, CE =, CE 1 = 2. Следовательно,. Решение: Искомый угол равен углу E 1 CE. Призма 13

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BDE 1. Ответ:. Решение: Искомый угол равен углу E 1 DE. Он равен 45 о. Призма 14

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BDF 1. Ответ: Решение: Искомый угол равен углу F 1 GF, где G – середина BD. В прямоугольном треугольнике F 1 GF имеем: FF 1 = 1, FG = Следовательно, Призма 15

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ADE 1. Ответ: Решение: Искомый угол равен углу E 1 GE, где G – середина CE. В прямоугольном треугольнике E 1 GG имеем: EE 1 = 1, EG = Следовательно, Призма 16

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDE 1 и AFE 1. Ответ: Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы, P, Q – середины ребер AF и CD. Искомый угол равен углу PO 1 Q. В треугольнике PO 1 Q имеем: PO 1 = QO 1 =, PQ = Из теоремы косинусов получаем Призма 17

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDF 1 и AFD 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр призмы, G, G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1. Искомый угол равен углу GOG 1. В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о. Призма 18

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями BCD 1 и AFE 1. Ответ: Решение: Пусть O, O 1 – центры боковой грани и верхнего основания призмы. Искомый угол равен углу A 1 GB 1, где G – середина OO 1. В треугольнике A 1 GB 1 имеем: A 1 B 1 = 1, A 1 G = B 1 G = Из теоремы косинусов получаем Призма 19

Октаэдр Найдите двугранные углы октаэдра. Ответ:, 109 о 30'. Решение: Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1. Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC. Угол EGF будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике EGF имеем: EF =, EG = FG =. Используя теорему косинусов, находим. Откуда 109 о 30'.

Икосаэдр Найдите двугранные углы икосаэдра. Ответ:, 138 о 11'. Решение: Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC =, EG = FG =. Используя теорему косинусов, находим. Откуда 138 о 11'.

Додекаэдр Найдите двугранные углы додекаэдра. Решение: Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC =, EG = FG =. Используя теорему косинусов, находим. Откуда 116 о 34'. Ответ:, 116 о 34'.