У РАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. П ЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. З АДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ЦИЛИНДРА. Ф ОРМУЛА Ж УКОВСКОГО ДЛЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ.

Гидродинамика – это наука о движении жидкости (или газа). С точки зрения математического описания движения текучих сред, нет разницы между жидкостью и газом. Иногда жидкостью называют несжимаемую среду, а газом называют среду, у которой плотность существенно меняется. Жидкость – такое состояние физической среды, при котором она легко деформируется под действием внешних и внутренних сил. В 1753 г. Эйлер в качестве модели жидкости предложил принять сплошную жидкую среду. Таким образом, считается, что жидкость сплошь заполняет занимаемое пространство без образования каких бы то ни было пустот. Основными уравнениями гидродинамики являются уравнение неразрывности (сплошности) и уравнение Бернулли. Уравнение неразрывности есть уравнение постоянства расхода.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике. Закон сохранения массы выражается формулой (2) : В жидкости выделяем объем V. Первоначально это может быть кубик, а затем, по мере движения жидкости, он деформируется. В любой момент времени этот объем содержит одни и те же материальные частицы. В нем находится вещество, которое обладает плотностью. Тогда масса вещества вычисляется по формуле (1) :

Подставим (1) в (2), получим (3) : Перепишем (3) с учетом теоремы Остроградского-Гаусса (2) и получим (4): Т.к. объем V выбран произвольно, и интеграл от некоторой величины по этому объему равен нулю, то, следовательно, сама эта величина тождественно равна нулю. Поэтому из (5) следует Это и есть уравнение неразрывности.

Уравнение Бернулли: является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении. Смысл уравнения Бернули в том, чтобы показать, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) сохраняется общая энергия между разными точками. То есть на участке трубопровода необходимо выделить две точки, и эти две точки равны друг другу по значению полной энергии. Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии Здесь p-плотность жидкости; v- скорость течения; pgh- гидростатическое давление; p-давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела, по сути статическое давление.

Проанализировав уравнение Бернулли для горизонтальной трубки тока можно сделать выводы, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, владеющей различными сечениями, в узких местах давление на стенки трубы меньше, но скорость жидкости больше, статическое давление больше в широких местах, то есть там, где скорость меньше.

П ЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. Впервые подобный подход к решению данного класса задач был предложен ДАламбером и Эйлером в середине XVIII века, а современное изложение дано в 1876 г. Кирхгофом. Полнее всего теория потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости разработана в случае плоского потенциального течения (когда от одной координаты, например, от Z,, ничего не зависит, и V=0. Введем новую функцию функцию тока – так, чтобы уравнение неразрывности: удовлетворялось автоматически.

Для этого положим (1): Термин «функция тока» обусловлен тем, что линиями тока течения являются линии В случае потенциального течения, когда функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа (2): Введем для плоского течения функцию потенциала скорости Тогда Несложно показать, что линии тока ортогональны изопотенциальным линиям Соотношения (1) и (2) с математической точки зрения совпадают с условиями Коши - Римана, выражающими собой тот факт, что функция

является аналитической функцией комплексного аргумента т.е. обладает свойством дифференцируемости. Функцию F(z) называют комплексным потенциалом, а функцию- комплексной скоростью. Следовательно, любой аналитической функции комплексной переменной можно поставить в соответствие некое плоское потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме можно истолковать так: сумма скоростей относительной деформации ребер жидкой частицы равна нулю. Жидкость движется так, что данная масса все время занимает один и тот же объем.

У РАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Изменение массы жидкости в объеме параллелепипеда за счет входа и выхода жидкости через левую и правую грани: Аналогичные выражения могут быть получены по двум другим осям, т.е. по двум другим парам граней. Общее изменение массы следует приравнять нулю: Понятно, что левая часть равна нулю только если выражение в скобках равно нулю.

З АДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ЦИЛИНДРА Задача об обтекании цилиндра: Особенностью обтекания круговых цилиндров является отрыв пограничного слоя в кормовой части. Опыты с однофазными средами показывают, что отрыв наступает при числах Рейнольдса, примерно больших десяти. Отрывные течения видоизменяются по мере роста числа Рейнольдса. Сложный характер смывания трубы существенно затрудняет теоретическое определение теплоотдачи кормовой части поперечно обтекаемых цилиндров. Обычно отрыв начинается в сечении, где скорость потенциального течения быстрее всего убывает в направлении потока. Коэффициент увлечения Сd цилиндра как функция числа Рейнольдса.

Сила, увлекающая цилиндр, показана на графике, как функция величины R, которая пропорциональна скорости V, если все остальное фиксировано. Фактически на графике отложен коэффициент увлечения Cd - безразмерное число, равное отношению силы к 1/2pV^2Dl (d- диаметр, l- длина цилиндра, а p - плотность жидкости) Коэффициент увлечения изменяется довольно сложным образом, как бы намекая нам на то, что в потоке происходит нечто интересное и сложное. Свойства потока полезно описывать для различных областей изменения числа Рейнольдса. Прежде всего, когда число Рейнольдса очень мало, поток вполне стационарен, скорость в любой точке потока постоянна и он плавно обтекает цилиндр. Однако распределение линий потока не похоже на их распределение в потенциальном потоке.

Поток, обтекающий цилиндр, при различных числах Рейнольдса.

Если теперь мы увеличим скорость потока, так что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменится. Как показано на фигуре (б), за сферой возникнут вихри. До сих пор неясно, существовали ли вихри и при малых числах Рейнольдса или же они возникли неожиданно при некотором определенном числе? Обычно считали, что циркуляция нарастает постепенно. Однако теперь думают, что скорее она проявляется неожиданно и возрастает с увеличением R. Во всяком случае, поток в районе от R=10 до R=30 меняет свой характер. За цилиндром образуется пара вихрей. Когда число Рейнольдса проходит через значения в районе 40, поток снова меняется. Характер движения претерпевает неожиданное и резкое изменение. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что он отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При этом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Эти вихри поочередно отслаиваются то с одной, то с другой стороны, так что в какой-то момент поток выглядит приблизительно так, как показано на фигуре (в). Такой поток вихрей называется вихревой цепочкой Кармана. Она всегда появляется для чисел Рейнольдса R>40.

Ф ОРМУЛА Ж УКОВСКОГО ДЛЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ. Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной жидкости на помещенный в него крыловой профиль является заслугой великого русского ученого Н.Е. Жуковского, опубликовавшего свою известную теорему о подъемной силе крыла в 1906 г. В классическом мемуаре «О присоединенных вихрях». Жуковский первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал наличие простой пропорциональности между этой силой и интенсивностью вихря, «присоединенного» к обтекаемому телу. Подъёмная сила одна из составляющих полной аэродинамической силы, перпендикулярная вектору скорости движения тела в потоке жидкости или газа, возникающая в результате несимметричности обтекания тела потоком. Согласно теореме Жуковского, величина подъемной силы пропорциональна плотности среды, скорости потока и циркуляции скорости потока. А также подъемная сила всегда направлена перпендикулярно к набегающему потоку.

Коэффициент подъемной силы- безразмерная величина, характеризующая подъемную силу крыла определенного профиля при известном угле атаки. Коэффициент определяется экспериментальным путем в аэродинамической трубе, либо по теореме Жуковского. Формула имеет вид: где: У- подъемная сила (Н) Су- коэффициент подъемной силы р- плотность воздуха на высоте полета V- скорость набегающего потока (м/с) S- характерная площадь Из диаграммы сил давления видно, что подъемная сила создается не столько повышением давления под крылом, сколько падением давления над крылом. Эта сила пропорциональна динамическому давлению, площади крыла S.

В качестве важнейшего примера рассмотрим возникновение подъемной силы при обтекании воздухом крыла самолета. Типичная картина безотрывного обтекания воздухом профиля крыла самолета при небольшом угле атаки изображена на рис а. Уже из одного только факта, что поток после обтекания приобрел составляющую импульса, направленную вниз, следует, что такой же импульс вверх приобретает крыло. Для ламинарного обтекания крыла исходя из структуры линий тока можно качественно проанализировать распределение сил давления p=p-p0, получаемое с использованием уравнения Бернулли (рис б). Сумма этих сил имеет равнодействующую F, направленную под небольшим углом к вертикали. Таким образом, создается подъемная сила F значительно превосходящая силу лобового сопротивления.

Основные выводы о природе образования подъемной силы : 1. Подъемная сила независимо от направления набегающего потока всегда направлена перпендикулярно этому направлению и лежит в плоскости симметрии самолета. 2. Подъемная сила может быть положительной, если угол атаки положителен, и отрицательной при отрицательном угле атаки. 3. Симметричные профили при нулевом угле атаки не создают подъемной силы. 4. Формула подъемной силы является полуэмпирической и не дает возможности найти теоретически наиболее выгодные формы профиля и крыла в плане. На эти вопросы отвечает теория крыла Н.Е. Жуковского. При отсутствии циркуляции нет разности давлений и скоростей на верхней и нижней поверхностях обтекаемого тела, а, следовательно, нет и подъемной силы. Это значит, что при наличии подъемной силы в потоке должны существовать вихри.