1

2 В аналитической геометрии линией на плоскости называют все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0, где F(x, y) – многочлен степени n. Степень многочлена n называют порядком линии Кривые второго порядка – это все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0, где F(x, y) – многочлен второй степени. Кривые второго порядка.

3 вырожденные кривые невырожденные кривые 1. пустое множество 2. точка 3. прямая 4. пара параллельных или пересекающихся прямых 1. эллипс 2. гипербола 3. парабола

4 Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек есть постоянное число. Обозначим фиксированные точки F 1 и F 2. Эти точки называют фокусами эллипса, а середину отрезка F 1 F 2 – центром эллипса. Обозначим расстояние между фокусами через 2c, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов – 2a. 2a > 2ca > c

5 Получим уравнение эллипса. Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ox симметрично относительно начала координат. и Найдём координаты фокусов: Пусть М(x,y) – произвольная точка эллипса.

6 2a > 2c Избавляясь от корней, можно получить a > c Обозначим через Тогда получаем – каноническое уравнение эллипса

7 Исследование формы эллипса 1. Ox и Oy – оси симметрии, начало координат – точка симметрии 2. Найдём точки пересечения с осями координат. (0, –b) и (0, b) – точки пересечения с осью Oy (–a, 0) и (a, 0) – точки пересечения с осью Ox – вершины эллипса Отрезки и, а также их длины 2a и 2b – соответственно большая и малая оси эллипса. Числа a и b – большая и малая полуоси эллипса.

8 3. и эллипс лежит внутри прямоугольника, образованного прямыми x= ± a и y= ± b. Если |x| увеличивается, то |y| – уменьшается. 4. Средствами математического анализа можно исследовать на возрастание и убывание, на выпуклость и вогнутость.

9 1) Пусть a = b = r Так как и, то фокусы F 1 и F 2 совпадают Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек есть постоянное число. окружность. множество точек, равноудалённых от фокуса 2), но – эллипс, но фокусы лежат на оси Oy. 3) – эллипс с центром, смещённым в точку (x 0, y 0 ).

10 Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости есть постоянное число, причём меньшее расстояния между фиксированными точками. Обозначим фиксированные точки F 1 и F 2. Эти точки называют фокусами гиперболы, а середину отрезка F 1 F 2 – центром гиперболы. Обозначим расстояние между фокусами через 2c, а модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов – 2a.

11 По определению 2a < 2ca < c Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ox симметрично относительно начала координат. и Найдём координаты фокусов: Пусть М(x,y) – произвольная точка гиперболы.

12 2a < 2c Избавляясь от корней, можно получить a < c Обозначим через Тогда получаем – каноническое уравнение гиперболы, то есть

13 Исследование формы гиперболы 1. Ox и Oy – оси симметрии, начало координат – точка симметрии 2. Найдём точки пересечения с осями координат. точек пересечения с осью Oy нет (–a, 0) и (a, 0) – точки пересечения с осью Ox Точки A 1 (–a, 0) и A 2 (a, 0) называются вершинами гиперболы. Пусть и.

14 Отрезки и, а также их длины 2a и 2b называют соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Числа a и b называют соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, образованный прямыми x=± a и y=± b называют основным прямоугольником гиперболы.

15 3., то есть гипербола лежит вне полосы, образованной прямыми x= ± a. Если |x| увеличивается, то |y| –увеличивается. 4. Средствами математического анализа можно исследовать на возрастание и убывание, на выпуклость и вогнутость. 5. Можно показать, что прямые являются асимптотами гиперболы В силу симметричности относительно оси Oy, гипербола состоит из двух частей, называемых ветвями гиперболы.

16 – гипербола, но фокусы лежат на оси Oy, 1) ветви направлены вверх и вниз. 2) – гипербола с центром, смещённым в точку (x 0, y 0 ).

17 Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 Уравнение гиперболы:

18 Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки и фиксированной прямой. Обозначим фиксированную точку F, эта точку называют фокусом параболы. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Фиксированную прямую называют директриссой параболы.

19 Выберем систему координат так, чтобы начало координат находилось посередине между фокусом и директрис сой, а ось Oy была параллельна директрисе. Пусть М(x,y) – произвольная точка параболы. Получим уравнение параболы. Тогда фокус имеет координаты:

20 – каноническое уравнение параболы Исследование формы параболы 1. Ox – ось симметрии, точек симметрии нет 2. (0,0) – точка пересечения с осями координат, эта точка называется вершиной параболы. 3., но, то есть парабола расположена справа от оси Oy. Если x увеличивается, то |y| –увеличивается. 4. Можно исследовать на возрастание и убывание, на выпуклость и вогнутость.

21 1) парабола, ветвь влево парабола, ветвь вверх парабола, ветвь вниз 2) вершина параболы смещена в точку (x 0, y 0 )

22 Можно показать, что при повороте координатных осей на определённый угол слагаемое Bxy отсутствует 1. A и C одного знака. Пусть A > 0 и C > 0. Если A и C одного знака, то говорят, что кривая второго порядка имеет эллиптический тип. Кривая эллиптического типа может являться эл- липсом, точкой или пустым множеством. При этом также говорят, что эллипс может вы рождаться в точку или пустое множество.

23 2. A и C разного знака. Пусть A > 0 и C < 0. Если A и C разного знака, то говорят, что кривая второго порядка имеет гиперболический тип. Кривая гиперболического типа может являться гиперболой или парой пересекающихся прямых. При этом также говорят, что гипербола может вы- рождаться в пару пересекающихся прямых.

24 3. Один из коэффициентов A или C равен нулю. Если один из коэффициентов A или C равен нулю, то говорят, что кривая второго порядка имеет параболический тип. Кривая параболического типа может являться параболой, парой параллельных прямых, одной прямой или пустым множеством. При этом также говорят, что парабола может вы- рождаться в пару параллельных прямых, в одну прямую или в пустое множество.

25 Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую. Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат:

26 Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль- оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна половина расстояния между фокусами равно с = Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F 1 (0; 0) и F 2 (1; 0). = 1/2. ½ F2F2 F1F1 x y 0

27 В аналитической геометрии поверхностью называют все точки пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) – многочлен степени n. Степень многочлена n называют порядком поверхности. Поверхности второго порядка – это все точки пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) – многочлен второй степени. Поверхности второго порядка.

28 Поверхности второго порядка. вырожденные невырожденные 1. пустое множество 2. точка 3. плоскость 4. пара параллельных или пересекающихся плоскостей 1. эллипсоид 2. однополостный гиперболоид 3. двухполостный гиперболоид 4. эллиптический параболоид 5. гиперболический параболоид 6. эллиптический конус 7. эллиптический цилиндр 8. гиперболический цилиндр 9. параболический цилиндр

29 Можно показать, что при выборе определённым образом системы координат, любая невырожденная поверхность второго порядка задаётся уравнением одного из девяти видов, называемым каноническим. Исследуем каждую из невырожденных поверхностей второго порядка методом параллельных сечений, то есть рассмотрим линии пересечения данной поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

30 1. Эллипсоид Проведём сечения параллельно плоскости xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

31 2. Однополостный гиперболоид Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

32 3. Двуполостный гиперболоид Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

33 4. Эллиптический параболоид Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

34 5. Гиперболический параболоид Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

35 6. Эллиптический конус Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

36 7. Эллиптический цилиндр Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

37 8. Гиперболический цилиндр Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

38 9. Параболический цилиндр Параллельно xOy: Параллельно yOz: Параллельно xOz:

39