АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРЫ ВФ НИТУ «МИСиС, 2018

ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 2 На плоскости: OX –ось абсцисс; OY-ось ординат; О -начало координат. В пространстве: OX –ось абсцисс; OY - ось ординат; OZ -ось аппликат; O –начало координат. o y x M(x,y) MyMy MxMx x y z M(x,y,z) MxMx MyMy MzMz

3 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ Если на плоскости задана ДПСК OXY, то расстояние d между двумя точками и вычисляется по формуле:

4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Рассмотрим прямоугольный. По Th Пифагора:. T. к расстояние между двумя точками равно длине отрезка, который их соединяет, а Так как То приходим к требуемой формуле. y o x M2M2 M1M1 M x1x1 x2x2 y1y1 y2y2

5 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ Пусть и различные точки плоскости. Возьмём точку и, делящую данный отрезок в отношении Требуется выразить координаты x и y этой точки через коорд-ты концов отрезка и числа и.

6 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть оси OY, тогда т. к.. Точка M лежит между точками M1 и M2, поэтому либо либо В любом из этих случаев разности и имеют одинаковые знаки, значит о y x M1M1 M M2M2 M 1x MxMx M 2x

7 ОПРЕДЕЛЕНИЯ Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. Ō-нулевой вектор, т.е. вектор, длина которого равна нулю. ā-длина вектора ā. a b A B

8 КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Два вектора называются коллинеарныйми, если они параллельны одной прямой сонаправленными, если их направления совпадают; противоположно направленными, если их направления противоположны). Три вектора называются компланарныйййми, если они параллельны одной плоскости. a b a b a b c

9 ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ Пусть даны два вектора а и в, которые приложены к одной точке. Суммой этих векторов а + в называется вектор идущий по диагонали параллелограмма из их общего начала (используем правило параллелограмма): АВ + АD =AC. BC D A

10 ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА Возьмём произвольную т. О и отложим от неё а: ОА= а. ОТ полученной т. А отложим вектор b:АВ=b. Полученный в результате вектор ОВ называется суммой векторов а и b и обозначается через а + b. О А В b а а + b

11 РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ Если векторы а и в приложены к одной точке, то разность этих векторов с = а – в –это вектор, соединяющий конец второго вектора с началом первого:AB-AD=DB. a B c b A D

12 ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Произведением вектора а на число λ называется вектор b = λа, такой что: 1) b = λa; 2)b a (противоположно направлены), если λ<0; b a(сонаправлены), если λ>0; b=0, если λ =0 a 2,5a b -2b

13 ОПРЕДЕЛЕНИЯ Вектор длина которого равна 1, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а 0 ( читается: а с нуликом ), а 0 =1. Если,то Векторы i, j, k попарно ортогональны, и их длины равны 1. Тройку i, j, k называют ортонормированным базисом. Радиус-вектором т. называется вектор,идущий из начала координат в т. М

14 КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Пусть x-проекция вектора a=OM на ось OX, т. е. x=OMx; y- проекция вектора a на ось OY, т.е. y= OMy ; z- проекция вектора a ось OZ, т.е. z= OMz. Тогда разложение вектора a по базису i, j, k : a= xi+ yj+ zk, где x, y, z - координаты вектора a, равные : y z x M O M z M xoy MxMx MyMy ДПСК в R 3

15 НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ Направляющие косинусы вектора a можно вычислить по формулам: Где Для нахождения длины вектора a используется формула:

16 ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Если в пространстве заданы две точки: и, тогда координаты вектора АВ равны- Пусть Тогда координаты векторов с, d и р равны:

17 УСЛОВИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ Два вектора совпадают, т.е.

18 ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ДРУГОЙ ВЕКТОР Проекцией вектора a на вектор b называется число, определяемое по формуле: Проекция вектора a на вектор b может быть отрицательной, если угол между векторами a и b тупой. b a

19 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, равное 1. Это следует из определения скалярного произведения, т. к. 2. Это следует из определения скалярного произведения и того что. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

20 СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пусть. Тогда Поскольку при углы и равны. Аналогично рассм. При очевидно. a a b b

21 КООРДИНАТНАЯФОРМА ЗАПИСИ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ (*) КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ВЕКТОРОВ

22 СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ Пример: Замечание: в общем случае Определение. Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом Применяя (*) при,найдём

23 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА Квадратная таблица, состоящая из четырех чисел называется Матрицей 2-го порядка, её элементами, где i-номер строки, j-номер столбца. Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице А, называется число

24 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Матрицей 3-го порядка называется квадратная таблица, состоящая из 9- ти элементов: Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число (**)

25 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 1. Величина определителя не изменится если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами: Легко доказывается с помощью разложения (**). 2. При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменит свой знак на противоположный. Доказательство аналогично свойству (1).

26 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3. Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя. 4. Если определитель имеет две равные строки (или два равных столбца), то он равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. 6. Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю. Свойства 4-6 вытекают из свойств 1-3. Также их можно доказать используя разложение (**).

27 МИНОР И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТА Минором элемента определителя называется определитель, получаемый из данного путём вычёркивания элементов i- строки и j- столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если i+ j- чётное число, и с противоположным знаком, если i+ j- нечетное.

28 ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства: (***)разложение по i-той строке (****)разложение по j-тому столбцу

29 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Покажем, что при i=1 Пользуясь разложением (**) имеем: Аналогично доказывается для i=2,3 и j=1,2,3.

30 ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ Упорядоченная тройка векторов a, b, c называется правой, если из конца третьего вектора переход от первого ко второму осуществляется против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов –левая. Если векторы a, b, c компланарныййй, то такая тройка не относится ни к правым тройкам, ни к левым.

31 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый такой что: 1. -правая тройка Если хотя бы один из векторов равен 0, то векторное произведение по определению равно 0.

32 СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1. (доказательство из опр.) 2. Векторы и имеют одинаковую длину и коллинеарный. Направления же этих векторов противоположны, т. к. из конца вектора кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца - по часовой стрелке. b b a a

33 СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна длине вектора векторного произведения векторов a и b:

34 КООРДИНАТНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНЕИЯ

35 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор c. Принято обозначать : ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

36 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1. если a, b, c-правая тройка, если a, b, c-левая тройка, где V-объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c. 2. Три вектора a, b, c компланарныййй тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

37 ПРИМЕР Проверить компланарныййй ли векторы: РЕШЕНИЕ Вычислим смешанное произведение данных векторов, если оно равно 0, то векторы компланарныййй и базис не образуют. В противном случае они не компланарныййй и образуют базис, т.е. они линейно не зависимы.