Динамика – раздел теоретической механики, изучающий механическое движение с самой общей точки зрения. Движение рассматривается в связи с действующими на объект силами. Раздел состоит из трех отделов:

Динамика точки – изучает движение материальной точки с учетом сил, вызывающих это движение. Основной объект - материальная точка – материальное тело, обладающей массой, размерами которого можно пренебречь. Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами взаимодействия, с учетом сил, вызывающих это движение. Аналитическая механика – изучает движение несвободных механических систем с использованием общих аналитических методов

Основные допущения: – существует абсолютное пространство (обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения – существует абсолютное время (не зависит от материи и ее движения). Отсюда вытекает: – существует абсолютно неподвижная система отсчета. – время не зависит от движения системы отсчета. – массы движущихся точек не зависят от движения системы отсчета.

Основные законы динамики – составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил. Закон инерции – Изолированная материальная точка (тело) сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Отсюда следует эквивалентность состояния покоя и движения по инерции (закон относительности Галилея). Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью.

Закон пропорциональности силы и ускорения (Основное уравнение динамики - II закон Ньютона) – Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе этой точки: или Закон равенства действия и противодействия (III закон Ньютона) – Всякому действию соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие: m1m1 m2m2

Закон независимости действия сил – Ускорение материальной точки под действием нескольких сил равно геометрической сумме ускорений точки от действия каждой из сил в отдельности:

Подставим ускорение точки при векторном задании движения в основное уравнение динамики: В координатном виде: Используем связь радиуса-вектора с координатами и вектора силы с проекциями: Тогда:

После группировки векторное соотношение распадается на три скалярных уравнения: или: - дифференциальные уравнения движения точки в координатном виде. Этот результат может быть получен формальным проецированием векторного дифференциального уравнения (1).

Естественные уравнения движения материальной точки – получаются проецированием векторного дифференциального уравнения движения на естественные (подвижные) оси координат:

-естественные уравнения движения точки.

Две основные задачи динамики: Прямая задача: Задано движение (уравнения движения, траектория). Требуется определить силы, под действием которых происходит заданное движение. Обратная задача: Заданы силы, под действием которых происходит движение. Требуется найти параметры движения (уравнения движения, траекторию движения).

Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a Определить натяжение троса. 1. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и ее можно рассматривать как материальную точку). 2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем реакцией R. 3. Составляем основное уравнение динамики:

Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a Определить натяжение троса. 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y: Определяем реакцию троса: Определяем натяжение троса:

Решение прямой задачи динамики - рассмотрим на примерах Пример 1. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a Определить натяжение троса. При равномерном движении кабины a y = 0 и натяжение троса равно весу: T = G. При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: a y = -g.

Пример 2: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост. 1. Выбираем объект (автомашина, размерами пренебрегаем и рассматриваем как точку). 2. Отбрасываем связь (шероховатую поверхность) и заменяем реакциями N и силой трения F тр. 3. Составляем основное уравнение динамики:

Пример 2: Автомашина весом G движется по выпуклому мосту (радиус кривизны равен R) со скоростью V. Определить давление автомашины на мост. 4. Проецируем основное уравнение динамики на ось n: Отсюда определяем нормальную реакцию: Определяем давление автомашины на мост: Отсюда можно определить скорость, соответствующую нулевому давлению на мост (Q = 0):

Решение обратной задачи динамики – В общем случае движения точки силы, действующие на точку, являются переменными, зависящими от времени, координат и скорости. Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка:

После интегрирования каждого из них будет шесть постоянных C 1, C 2,…., C 6 :

Значения постоянных C 1, C 2,…., C 6 находятся из шести начальных условий при t = 0:

После подстановки найденных значений постоянных получаем:

Таким образом, под действием одной и той же системы сил материальная точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями. Начальные координаты учитывают исходное положение точки. Начальная скорость, задаваемая проекциями, учитывает влияние на ее движение по рассматриваемому участку траектории сил, действовавших на точку до прихода на этот участок, т.е. начальное кинематическое состояние.

Пример 1 решения обратной задачи: Свободная материальная точка массы m движется по действием силы F, постоянной по модулю и величине. В начальный момент скорость точки составляла v 0 и совпадала по направлению с силой. Определить уравнение движение точки.

1. Составляем основное уравнение динамики: 2. Выберем декартову систему отсчета, направляя ось x вдоль направления силы и спроецируем основное уравнение динамики на эту ось: или 3. Понижаем порядок производной:

4. Разделяем переменные: 5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 6. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени:

7. Разделяем переменные: 8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:

9. Для определения значений постоянных C1 и C2 используем начальные условия t = 0, v x = v 0, x = x 0 :

В итоге получаем уравнение равнопеременного движения (по оси x):

Пример 2 решения обратной задачи: Сила зависит от времени. Груз весом P начинает двигаться по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы F, величина которой пропорциональна времени (F = kt). Определить пройденное расстояние грузом за время t.

1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату: 2. Принимаем объект движения за материальную точку (тело движется поступательно), освобождаем от связи (опорной плоскости) и заменяем реакцией (нормальной реакцией гладкой поверхности): 3. Составляем основное уравнение динамики:

4. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : или 5. Понижаем порядок производной: 6. Разделяем переменные:

7. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 8. Определим значение постоянной C 1 из начального условия t = 0, v x = v 0 =0:

9. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени: и разделяем переменные: 10. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:

11. Определим значение постоянной C 2 из начального условия t = 0, x = x 0 =0: В итоге получаем уравнение движения (по оси x), которое дает значение пройденного пути за время t: