§2. Байланысқан механикалық жүйелер қозғалысының жалпы теңдеуі

Еркін қозғалатын механикалық жүйелердің жалпы есебі сияқты (тура және кері есептер) еркін емс механикалық жүйе қозғалыс заңдары туралы да жалпы динамикалық есеп тұжырымдауға болады. Еркін емс механикалық жүйе қозғалысы туралы жалпы динамикалық есепті былой тұжырымдауға болады. Белгілі бір белсенді күш және берілген байланыстар теңдеуі бойынша жүйенің қозғалыс заңын және байланыстар реакциясының күшін табуға болады. Бұл есеп байланыстар теңдеулері мен жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдулерін біріктіріп шешу арқылы анықталады, яғни, (4) Мұндағы жүйені құрайтын нүктелер саны, жүйеге түсірілген байланыстардың саны.

(4)-өрнекпен анықталынатын теңдеулер жүйелерінің саны -ға тең, ал осы теңдеулер жүйесін шешу арқылы анықтайтын белгісіздердің саны, олар -белгісіз координаталар және 3n-реакция күшінің проекция лары. Сонымен, жалпы жағдайда, ал анықтауға тиісті белгілісіздердің саны 6n, берілген теңдеулер жүйесінің санынан көп:. Сондықтан, математикалық тұрғыдан қарастырғанда берілген есеп анықталмаған деп аталады. Бұл есепті шешудің мынадай екі түрін көрсетуге болады.

1. Жүйеге түсірілген байланыстардың идеалдылығынан және жүйе нүктелерінің координаталарымен байланыстар реакциясы күшінің арасыңдағы байланыстардан шығатын қатыстарды пайдаланып, (4)-өрнекпен анықталатын теңдеулер жүйесін толықтырады, шыққан теңдеуді Лагранж теңдеуінің бірінші түрі деп атайды. Осы теңдеулерден жүйе нүктелерінің координаталарын және байланыстардың реакция күшін табуға болады. 2. (4)-теңдеулер жүйесін тәуелсіз немсе жалпыланған деп аталынатын координаталар арқылы өрнектелген байланыстар реакциясының күші тікелей кірмейтін, Лагранж теңдеуінің екінші түрі деп, аталынатын дифференциалдық теңдеулермен алмастаруға болады. Сонда осы теңдеуден ең алдымен жүйе нүктелерінің қозғалыс заңын анықтайтын теңдеуді табамыз да, седан кейін (4)-теңдеулер жүйесінен белгісіз байланыстар реакциясы күшін анықтаймыз.