Содержание лекции 1. Основные понятия. 2. Основные типы поверхностей второго порядка. 3. Методы построения поверхностей второго порядка. 4. Применение поверхностей второго порядка в инженерной деятельности. 5. Вопросы для самопроверки.

Уравнение поверхности 2-го порядка квадратичная часть линейная часть. К поверхностям 2-го порядка относятся : сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры. Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и построить поверхность в системе координат.,

Цилиндры Эллиптический ГиперболическийПараболический Поверхности второго порядка Двухполостный Однополостный Гиперболоиды Параболоиды Эллиптический Гиперболический Эллипсоид Конус Сфера

ЭЛЛИПСОИД Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением где a, b, c>0 параметры (полуоси) эллипсоида. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида, а система координат, в которой эллипсоид описывается каноническим уравнением, называется канонической. Признаки уравнения эллипсоида: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Одинаковые знаки при квадратах переменных 3. Разные коэффициенты при квадратах переменных

Если a = b = c = R > 0, то имеем сферу с центром в начале координат радиуса R: Определение. Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Уравнение сферы со смещенным центром В уравнение сферы входят квадраты трех переменных, причем коэффициенты при квадратах и знаки при них одинаковые. !

ГИПЕРБОЛОИДЫ Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой декартовой прямоугольной системе координат описываются уравнениями Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в канонической системе координат описывается уравнением Признаки уравнения однополостного гиперболоида: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных 3. Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения, в правой части плюс 1.

Разные ориентации однополостных гиперболоидов Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой переменной в каноническом уравнении стоит знак минус. Однополостный гиперболоид с осью симметрии OY Однополостный гиперболоид с осью симметрии OX

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в канонической системе координат описывается уравнением: Признаки уравнения двуполостного гиперболоида: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных 3. Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной в левой части уравнения, другой в правой части при 1.

Разные ориентации двуполостного гиперболоида Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит два знака минус в уравнении. Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии.

ПАРАБОЛОИДЫ Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой декартовой прямоугольной системе координат описываются уравнениями: Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в канонической системе координат описывается уравнением: Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида: 1. Отсутствие квадрата одной из переменных 2. Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения

Гиперболическим параболоидом (седло) называется поверхность, которая в канонической системе координат описывается уравнением: Признаки уравнения гиперболического параболоида: 1. Отсутствие квадрата одной из переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных в левой части уравнения

Цилиндрические поверхности Цилиндрическая поверхность-это поверхность, которую описывает прямая линия (образующая), которая оставаясь параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. По названию направляющей получают свое название и цилиндры. Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении соответствующую переменную. В этом случае уравнение цилиндра повторяет уравнение своей направляющей. Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно много. Для построения цилиндра нужно построить направляющую в той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в уравнении. Признаки уравнения цилиндрической поверхности: В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует одна переменная.

Эллиптические цилиндры ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY, а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии. По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой цилиндры выглядят одинаково. Направляющей кривой являются эллипсы

Гиперболические цилиндры ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось симметрии самого цилиндра. В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.

Параболические цилиндры ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY При построении цилиндра нужно определить основные параметры параболы: координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии. Направляющей этих цилиндров является парабола.

Конусы 2-го порядка Каноническое уравнение конуса Признаки уравнения конуса: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных 3. Свободный член в правой части уравнения равен нулю. Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения, то ось симметрии конуса определится также, как и для гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.

Конусы с разными осями симметрии Ось симметрии конуса определяется по уравнению Конус с осью симметрии OYКонус с осью симметрии OX

МЕТОДЫ построения поверхностей второго порядка А) (аналитический) Построить поверхность Уравнение определяет эллиптический параболоид (так как коэффициенты при квадратах переменных различные) с осью симметрии OZ (так как отсутствует квадрат переменной z) и смещенной также по оси OZ вершиной - вершина параболоида Чаша параболоида направлена вниз, т.е. в отрицательном направлении оси симметрии Замечание: наличие коэффициентов при квадратах переменных при таком схематичном построении можно не принимать во внимание.

у x z Сечение плоскостью YоZ: x=0, z=y Сечение плоскостью XоZ: y=0, z=x 2 / 4. Сечение плоскостью, параллельной XоY: z=4, Эллиптический параболоид Построить поверхность Б) (метод сечений) В) (с использованием ПК…..)УИРС

Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчётом и изготовлением различных поверхностей. В.Г. Шухов спроектировал сотни гиперболоидных «ажурных» башен ( в том числе телевизионную башню на Шаболовке, которая построена в 1921 г. для первой советской радиотелеграфной станции, в настоящее время подлежит реконструкции). В инженерной геологии поверхности второго порядка (эллипсоид) используются для оценки деформации горных пород.(УИРС) Свойство параболоидов фокусировать параллельный пучок волн применяется в антеннах и зеркалах телескопов.

Проверьте себя Определите тип поверхности: 1. Сфера со смещённым центром 2. Конус 3. Параболоид (круговой) 4. Круговой цилиндр 5. Параболический цилиндр