«Софизмы и парадоксы в математике» Секция : математика Выполнили : Павлюченко Дарья, Паршикова Кристина,9 класс. МОУ « СОШ 16 УИОП » Научный руководитель : Частикова Любовь Александровна

" Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным " Б. Паскаль Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные и довольно тонкие ошибки. Софизмы имеют четкое логическое объяснение. Кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука. Введение

Цель работы : Познакомиться с софизмами, показать значимость математических софизмов при изучении математики, показать как получаются абсурдные выводы. Важно четко понимать допущенные ошибки, иначе софизмы будут бесполезны.

Задачи : 1. Дать определение понятиям « софизм » и « парадокс », узнать в чём их отличие ; 2. Классифицировать различные виды софизмов ; 3. Понять, как найти ошибку в софизмах.

Понятие софизма Софизм ( от греч. « мастерство, умение, уловка, мудрость » можно подразделить на : 1. Сложное рассуждение, иногда намеренно запутанное с целью показать умственное превосходство или ввести в заблуждение ; 2. Нестандартная задача, как правило, имеющая несколько решений ; 3. Приём обучения и метод исследования, введённый древнегреческими софистами ; 4. Ошибочное рассуждение, неправильный аргумент.

Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые - философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

Экскурс в историю Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н. э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век ) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.

Математические софизмы Разбор и решение нестандартных математических задач помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. Однако следует помнить, что в математике важна аккуратность. Каждый шаг от одной логической конструкции к другой должен быть точным, тщательно выверенным. Один неверный переход может привести не просто к неточности, а к большой ошибке. В нашей работе мы рассмотрим три типа математических софизмов : алгебраические, геометрические, арифметические и логические.

I. Алгебраические софизмы Алгебра один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1) « Один рубль не равен ста копейкам » Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленноее, не нарушая при этом равенства, т. е. Если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10 р.=10*100 коп.(2) перемножая эти равенства почленноее, получим 10 р.= коп. (3) и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.= коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами : все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 р. = к., которое после деления на 10 дает 1 р. = коп., а не равенство 1 р = к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства 1 р. = коп. получаем верное равенство 1 р.=100 коп.

Геометрические софизмы Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую - нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

« Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра » Попытаемся " доказать ", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр ; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Арифметические софизмы. Арифметика - ( греч. arithmetika, от arithmys число ), наука о числах, в первую очередь о натуральных ( целых положительных ) числах и ( рациональных ) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы ? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

« Дважды два - пять !» Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство : 4:4= 5:5 После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь : 4(1:1)=5(1:1) или (22)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, мы из предыдущего получаем : 22=5 Где ошибка ? Нельзя выносить множитель за скобки так, как было сделано. 4(1:1)=5(1:1) Можно так 4 (1:4) и 5 (1:5).

Логические софизмы Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличи е этих двух видов ошибок состоит в том, что первая ( софизм ) допущена умышленно, вторая же ( паралогизм ) случайно.

« Ахиллес и черепаха » Представляет собой апорию о движении. Как известно, Ахиллес это древнегреческий герой. Он обладал недюжинными способностями в спорте. Черепаха очень медлительное животное. Однако в апории Ахиллес проигрывает черепахе состязание в беге. Допустим, Ахиллесу нужно пробежать расстояние, равное 1, а бежит он в два раза быстрее черепахи, последней нужно пробежать 1/2. Движение их начинается одновременно. Получается, что, пробежав расстояние 1/2, Ахиллес обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок 1/4. Сколько бы ни пытался Ахиллес обогнать черепаху, она будет находиться впереди ровно на 1/2. Поэтому Ахиллесу не суждено догнать черепаху, это движение вечно, его нельзя завершить.

Многообразие парадоксов и их причины Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их противоречивый результат не является преднамеренным ( этим они отличаются от софизмов ).

1. Парадокс Банаха - Тарского Парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равно составлен двум своим копиям. Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма. Очевидно, что « куски » в таком разбиении не могут быть измеримыми ( и невозможно осуществить такое разбиение какими - либо средствами на практике )

О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все - таки началась история софизмов. Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.