Механические колебания Составители: Директор по маркетингу и сбыту, к.т.н. Романов Р.А. Руководитель учебного центра «БАЛТЕХ» Севастьянов В.В. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Определение колебания Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы, например, процесс работы сердца. Аналогично и в технике есть разнообразные повторяющиеся процессы Все эти явления подчиняются общим закономерностям, которые мы рассмотрим на примере механических колебаний. Колебания – это периодически повторяющиеся движения или изменения параметров, которые характеризуют состояние системы. Колебания могут быть разной природы: механические, тепловые, электрические и т. п. Виды колебаний – гармонические, – периодические – затухающие, – вынужденные Простейшим видом колебаний является гармонические колебания, но чаще встречаются периодические колебания. Систему, совершающую колебательные движения, называют осциллятором.

Основные характеристики колебательного движения Смещение x – это расстояние, на которое отклоняется колеблющееся тело в данный момент времени от положения равновесия. Измеряется в СИ в метрах (м); для гармонического колебания (1):

Основные характеристики колебательного движения Амплитуда А 0 или (часто) просто А – максимальное смещение (А 0 =x мах ) от положения равновесия. Измеряется в СИ в метрах (м); Период Т – время одного полного колебания. Измеряется в СИ в секундах (с). Для колебания материальной точки на пружине: Где m – масса материальной точки, закреплённой на пружине жёсткостью k. Частота или линейная частота ν («ню») – это число колебаний в единицу времени. Измеряется в СИ в Герцах (Гц) или обратных секундах: Связана с периодом Т формулой:

Циклическая или круговая частота ω («омега») – величина, которая связана с линейной частотой формулой: Измеряется в СИ в радианах в секунду (рад/с), т.к. по определению -это скорость изменения угла φ от времени t. Круговая частота ω связана с коэффициентом жёсткости k: Фаза колебаний φ («фи») характеризует состояние колеблющейся материальной точки в любой момент времени: где φ 0 - начальная фаза колебаний (фаза при t 0 =0). Основные характеристики колебательного движения Фаза по смыслу является углом отклонения от положения равновесия и измеряется в угловых градусах (внесистемная единица) и в СИ – в радианах (рад). Амплитуда А 0 и начальная фаза φ 0 колебаний определяются начальными условиями движения (положением материальной точки в момент времени t 0 = 0).

Пример на изменение характеристик колебательного движения Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0: а – красная кривая отличается от синей только бóльшей амплитудой ( x max > x max ); b – красная кривая отличается от синей только значением периода ( T' = T / 2 ); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы:

Основные характеристики колебательного движения Скорость движения материальной точки v. – Измеряется в СИ в метрах в секунду (м/с). – Выражение для v найдется путем дифференцирования х : – Скорость максимальна, если: Тогда Ускорение колеблющейся материальной точки а. – Измеряется в СИ в метрах в секунду в квадрате (м/с 2 ). – Выражение для а найдется путем дифференцирования v : – Ускорение – это вторая производная по времени от смещения: – Ускорение максимально, если Тогда

Графики колебательного движения График координаты x (t) тела, совершающего гармонические колебания График скорости v(t) тела, совершающего гармонические колебания График ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания x max =A 0

Энергия гармонического колебания Полная энергия гармонического колебания E определяется суммой кинетической и потенциальной энергий: Подставляя в эту формулу – выражение для скорости v : – выражение для смещения x : – и, учитывая, что получаем: так как: (основное тригонометрическое тождество) Из формулы: следует, что энергия гармонического колебания: 1) Прямо пропорциональна квадрату амплитуды А 2 : чем больше размах колебаний, тем больше и их энергия. 2) энергия прямо пропорциональна квадрату круговой частоты колебаний ω 0. ВАЖНО!

Маятники Маятник это тело массой m,, подвешенная на нити или пружине и совершающее гармонические колебания. Пружинный маятник Математический маятник Физический маятник Пружинный маятник это материальная точка массой m, подвешенная на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающая гармонические колебания под действием упругой силы. Математический маятник это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити длиной l, на которой подвешена материальная точка массой m. Физический маятник - это твердое тело массой m, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела где величину I/ml=l пр называют приведенной длиной физического маятника. Она численно равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Гармонические колебания Гармонические колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени: – с постоянной частотой по закону синуса или косинуса и – постоянной амплитудой А 0. Рассмотрим случай действия на тело массой m только силы упругости F упр Если пружину оттянуть (на рисунке) или сжать (аналогично, но в другую сторону) на расстояние x от положения равновесия, то возникает сила упругости F упр, величина и направление которой определяется законом Гука: Знак минус показывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения x, т.е. к положению равновесия. На примере движения пружинного маятника – материальной точки массой m, закреплённой на ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ пружине жёсткостью k (Рис.1), рассмотрим различные виды колебаний в зависимости от сил, которые действуют вдоль оси Ох на данное тело массой m.

Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох: Вспомним, что ускорение – это вторая производная по времени от смещения х: Получаем уравнение: Разделим каждое слагаемое на m и вспомним, что, где ω 0 – собственная круговая частота гармонического колебания. Получилось дифференциальное уравнение второй степени: решением которого является: Тут φ 0 не равно 0 Гармонические колебания График гармонического колебания – синусоида, по которой можно определить смещение х колеблющейся точки в любой момент времени t.

Затухающие колебания Затухающие колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени с постоянной (!) частотой (круговой частотой ω) по закону синуса или косинуса, но амплитуда колебания А всё время уменьшается. В данном случае на тело массой m вдоль оси Ох действуют уже две силы: – сила упругости F упр – сила трения F тр. Сила трения F тр пропорциональна скорости колебания v и направлена в сторону, противоположную скорости: Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:

Учтём, что: Тогда при сокращении каждого слагаемого на m и переносе всех членов влево от знака равенства, получим: Проведем замену: где β называется коэффициентом затухания - это основная характеристика затухающего колебания, измеряется в обратных секундах (с -1 ), Получаем конечный вид дифференциального уравнения второй степени: Решением его является формула: где – собственная круговая частота затухающего колебания. Затухающие колебания Мы вывели, что для того случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:

График затухающего колебания. Декремент затухания δ («дельта») – отношение значений двух последовательных амплитуд, разделённых периодом колебания: Логарифмический декремент затухания λ («лямбда») – натуральный логарифм декремента затухания: Логарифмический декремент затухания применяется чаще, т.к. он связан с периодом Т и коэффициентом затухания β : Обе характеристики – безразмерные величины. Характеристики затухающего колебания График затухающего колебания – синусоида, амплитуда которой А(t) уменьшается по экспоненте: Коэффициент затухания β характеризует степень затухания колебаний.

Время релаксации («тау») – это время, за которое амплитуда уменьшается в e раз: Характеристики затухающего колебания Коэффициент затухания β («бета») – величина, обратная промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз: Измеряется в СИ в Герцах (Гц) или обратных секундах (с -1 ) За время релаксации система успевает сделать N e колебаний: Значит, логарифмический декремент затухания λ обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в е раз: Добротность Q системы - величина, характеризующая уменьшение полной энергии ΔЕ системы по формуле: ΔЕ = -2πЕ/Q, где знак минус показывает, что энергия уменьшается. Бóльшим значениям Q соответствует слабое затухание колебаний. Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации N e и обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания λ :

В данном случае на тело массой m вдоль оси Ох действуют три силы: сила упругости F упр сила трения F тр. вынуждающая сила F в, которая действует периодически с круговой частотой ω в : Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох: Учтём, что: и При сокращении каждого слагаемого на m и переносе всех членов влево от знака равенства, получим: Вынужденные колебания Вынужденные колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени: – с постоянной частотой ν (круговой частотой ω ), задаваемой внешней вынуждающей силой F в.

Вынужденные колебания Проведём замену: Получаем конечный вид дифференциального уравнения второй степени: Решение такого уравнения состоит из двух частей-решений: х=х 1 +х 2 : – Решение х 1 описывает неустановившейся режим колебаний, когда их амплитуда увеличивается во времени. – Решение х 2 описывает установившийся режим колебаний. В установившемся режиме вынужденных колебаний смещение х 2 подчиняется гармоническому закону и происходит с частотой ω в. График вынужденного колебания. удельная вынуждающая сила

Резонанс Амплитуда А вынужденных колебаний зависит от многих разобранных выше параметров: – частоты собственных колебаний 0, – коэффициента затухания, – силы f 0, – частоты вынуждающей силы в. Амплитуда А будет максимальна, если частота в действия вынуждающей силы определяется формулой: При этом наблюдается явление резонанса. Резонанс – это резкое возрастание амплитуды А вынужденных колебаний при совпадении частоты действия вынуждающей силы в с частотой системы, т.е.: Если бы затухание в системе отсутствовало ( = 0 ), то резонанс наступал бы при условии: 0 = в, где 0 – собственная частота гармонического колебания. При этом амплитуда достигала бы бесконечно большого значения.

График резонанса Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения : при резонансе амплитуда x max вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q 2 > Q 3 > Q 4. На низких частотах (ω > ω 0 ) x max 0 колебательная система с коэффициентом затухания β

Цифровая обработка сигналов В настоящее время методы цифровой обработки сигналов (Digital Signal Processing – DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале [0;]. При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации T, и вместо исходного сигнала получается последовательность: В процессе оцифровки аналоговых сигналов имеется два важнейших параметра, определяющих качество цифрового сигнала: Частота дискретизации Разрядность оцифровки Дискретизация предполагает получение мгновенных значений (выборок) аналогового сигнала с определенным временным шагом.

Цифровая обработка сигналов Чем выше частота дискретизации, тем более широкий спектр сигнала может быть представлен в дискретном сигнале. Для того чтобы однозначно восстановить исходный сигнал, частота дискретизации должна более чем в два раза превышать наибольшую частоту в спектре сигнала! Частота дискретизации (или частота семплирования) – частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в Герцах.

Цифровая обработка сигналов Квантование (Quantization) – разбиение диапазона значений непрерывного сигнала на конечное число интервалов. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал, полученный аналого- цифровым преобразователем (АЦП), соответствует аналоговому. При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала.

Спасибо за внимание! Зависимость смещения от времени при разных колебаниях Механические колебания Составители: Директор по маркетингу и сбыту, к.т.н. Романов Р.А. Руководитель учебного центра «БАЛТЕХ» Севастьянов В.В. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ООО «Балтех» Россия, Санкт-Петербург, , ул. Чугунная, 40 Тел/Факс:(812) Internet: