Магнитное поле в вакууме 18.8 Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами – поток и циркуляция вектора В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Магнитное поле в вакууме 18.9 Расчеты магнитного поля токов часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае расчеты можно выполнять с помощью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.

Магнитное поле в вакууме Теорема о циркуляция вектора В: циркуляция вектора В по произвольному контуру равна произведению μ 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром:

Лекция 19 Применение теоремы о циркуляции вектора В. Поле прямого тока. Применение теоремы о циркуляции вектора В. Поле соленоида. Магнитно поле прямого тока. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиуса а. Необходимо найти индукцию В поля снаружи и внутри провода. (r >a).

Магнитное поле в вакууме 19.2 Внутри провода из соображений симметрии следует, что линии вектора В являются тоже окружностями. Поэтому выбираем контур виде окружности. По теореме о циркуляции для контура внутри провода где I r – ток, охватываемый контуром Он пропорционален площади охватываемой контуром..

Магнитное поле в вакууме 19.3 Магнитное поле соленоида.

Магнитное поле в вакууме 19.4 Опыт показывает на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри соленоида. Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока правовинтовую систему. Такая конфигурация линий поля подсказывает выбрать контур в виде прямоугольника, две стороны которого параллельны линиям поля, причем одна из них находится вне соленоида. Вторые две стороны оказываются перпендикулярны линиям магнитной индукции.

Магнитное поле в вакууме 19.5 В итоге получаем, что циркуляция по трем из четырех сторон прямоугольника равна нулю. По стороне вне соленоида, так как там нет поля. По сторонам перпендикулярным полю, так как проекция линий поля на них равна нулю. Тогда согласно теореме о циркуляции получаем где l - длина стороны параллельной линиям магнитной индукции. Окончательно получаем, поле внутри длинного соленоида имеет вид: Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида). Произведение nI называют числом ампер-витков.

Магнитное поле в вакууме 19.7 Магнитное поле тороида

Магнитное поле в вакууме 19.8 Магнитное поле плоскости с током. Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направления. Введем понятие линейной плотности тока как вектор i, направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на единицу длины, которая играет роль поперечного сечения. Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно видеть, что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем направление с разных сторон плоскости будет различным и определяться по правилу правого винта.

Магнитное поле в вакууме 19.9 Зная, как расположены в этом случае линии вектора В, выберем контур в виде прямоугольника. Две стороны, которого параллельны плоскости, а две перпендикулярны. Тогда циркуляция вектора В по перпендикулярным сторонам будет равна нулю, так как так как проекция вектора В на них равна нулю. Следовательно по теореме о циркуляции получаем В итоге находим Магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь на расстояниях близких к пластине и удаленных от ее краев.

Магнитное поле в вакууме Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био- Савара. Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее. Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее. Вместе с тем надо понимать, что число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора В, небольшое. Примером может служить задача о нахождении магнитного поля на оси кругового тока.

Магнитное поле в вакууме В центре витка с током (z=0) и на расстоянии z>>R модуль вектора В равен

Лекция 20 Сила Ампера. Работа поля В при перемещении контура стоком. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому движутся заряды. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд – носитель тока, равный ρ dV. Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, может быть записана в виде: Так как Если ток течет по тонкому проводнику, то так как получим Закон Ампера

Магнитное поле в вакууме 20.2

Магнитное поле в вакууме 20.4 Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента p m. По определению Подробный расчет по формуле с учетом малости контура приводи к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле: – производная вектора В по направлению нормали n или по направлению вектора p m.

Магнитное поле в вакууме ) в однородном магнитном поле F=0, так как ; 2)направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с вектором p m ; вектор F совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора B, взятого в направлении вектора p m в месте расположения контура.

Магнитное поле в вакууме 20.6 Найдем момент сил (вращательный момент), действующий на контур с током в однородном магнитном поле. При этом учтем известный из механики факт, что если результирующая сил равна нулю, то момент сил не зависит от выбора точки, относительно которой он вычисляется. Рассмотрим прямоугольный контур со сторонами a b, расположенный в однородном магнитном поле так, что вектор нормали n образует с вектором В угол, и стороны контура перпендикулярны вектору В.

Магнитное поле в вакууме 20.7

Магнитное поле в вакууме 20.8 Слагаемые в этой сумме направлены в одну сторону. По формуле (для силы Ампера) обе силы равны F 1 =F 2 =IaB, кроме того, r 1 =r 2 =a/2. Поэтому слагаемые одинаковы по величине и равны а величина результирующего момента Воспользовавшись определением магнитного момента контура, можно записать величину момента сил Ампера, действующих на этот контур: Векторы p m, B, N составляют правую тройку векторов, поэтому в общем виде получаем

Магнитное поле в вакууме 20.9 Для момента сил Ампера, существует два положения = 0 и =, в которых этот момент обращается в нуль. В остальных случаях вращающий момент, действующий на контур с током, стремится развернуть контур так, чтобы направление магнитного момента контура совпало с направлением магнитной индукции внешнего поля, т.е. к состоянию = 0. Поэтому при = 0 контур оказывается в устойчивом равновесии, а при = – в неустойчивом. Элементарная работа da, совершаемая силой Ампера dF при перемещении на dr в магнитном поле элемента проводника dl, равна Векторное произведение перемещения и элемента проводника есть вектор площадки, прочерченной проводником при его перемещении

Магнитное поле в вакууме Скалярное произведение вектора площадки и вектора магнитной индукции – это магнитный поток через площадку dS поэтому для работы получаем Если проводник, сила тока I в котором поддерживается постоянной, совершает конечное перемещение из положения 1 в положение 2, то работа сил Ампера при таком перемещении где Ф – магнитный поток через поверхность, прочерченную проводником при рассматриваемом перемещении.

Магнитное поле в вакууме Если в постоянном магнитном поле перемещается замкнутый контур, то поток, прочерченный всеми элементами контура, равен изменению потока пронизывающего контур. Предположим есть два последовательных состояния контура С 1 и С 2. Поверхности S 1 и S 2, которые ограничивает контур в положениях С 1 и С 2 и поверхность S п, прочерченная контуром, составляют замкнутую поверхность. По теореме Остроградского-Гаусса для магнитной индукции суммарный поток через эту замкнутую поверхность равен нулю. Выберем нормали n 1 и n 2 к поверхностям S 1 и S 2. При этом поток наружу из замкнутой поверхности складывается из потока через S 1 в направлении n 1 (равен Ф 1 ), потока через S 2 в направлении противоположном n 2 (равен Ф 2 ) и потока через прочерченную поверхность S п (Ф). Таким образом, получаем

Магнитное поле в вакууме откуда Ф=Ф 2 -Ф 1. Следовательно, соотношение для замкнутого контура можно записать так При выводе этой формулы мы рассмотрели простое перемещение контура, но она оказывается справедливой и при более сложных изменениях состояния контура, например, при вращении и при деформации. В приведенном виде она выполняется для движении не только одиночного контура, но и катушки, состоящей из нескольких витков, в частности, для катушки из N одинаковых витков. В последнем случае потокосцепление равно = N м, где м – магнитный поток через один виток.

Лекция 21 Виды поляризации диэлектриков. Поляризованность Р. Свойства поля вектора Р. Вектор D. Условия на границе двух диэлектриков для векторов E и D Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое поле в среднем по объемам, включающим большое число атомов или молекул, равно нулю. В диэлектриках нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика. При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле Е 0 в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности и, вообще говоря, и в объеме диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды.

Диэлектрики 21.3 Каждый малый объем dV (малый по сравнению с объемом диэлектрического тела, но большой по сравнению с объемом молекулы, атома или элементарной ячейки кристалла) приобретает дипольный момент p i – дипольные моменты молекул Дипольным моментом диполя(молекулы) называется векторная величина: Вектор l направлен от –q к +q Векторная величина называемая поляризованностью (численно равная дипольному моменту единичного объема диэлектрической среды) не зависит от dV.

Диэлектрики 21.4 Для диэлектриков зависимость поляризованности от напряженности электрического поля линейна: - безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е она характеризует свойства самого диэлектрика. Поле вектора Р обладает следующим свойством: поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S Это уравнение выражает теорему Гаусса для вектора Р.

Диэлектрики 21.5 Поскольку источниками поля Е являются все электрические заряды – сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так: Появление связанных зарядов q усложняет дело, и данная формула оказывается мало применима для нахождения поля Е в диэлектрике. Если выразить связанный заряд через поток вектора Р, тогда выражение для потока вектора Е можно преобразовать к следующему виду: Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D. В итоге получили вспомогательный вектор D:

Диэлектрики 21.6 Поток вектора D сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью: В случае изотропных диэлектриков поляризованность Для вектора D получим ε – диэлектрическая проницаемость вещества: Диэлектрическая проницаемость является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ ε >0, для вакуума ε =0. В изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е. Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D, направление и густота которых определяется точно так же как и у линий вектора Е. Однако линии D могут начинаться или заканчиваться только на сторонних заряда или на бесконечности.

Диэлектрики 21.7 Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Предположим, что на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд σ. Условия для E и D получим, используя теорему о циркуляции вектора Е и о потоке D. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его следующим образом В результате получаем граничные условия, для тангенциальной составляющей вектора Е

Диэлектрики 21.9 Если на границе раздела нет сторонних зарядов то получаем В этом случае при переходе границы, составляющие Е τ и D n скачок не испытывают. Составляющие же Е n и D τ претерпевают скачок. Полученные результаты позволяют построить линии этих векторов при переходе из одного диэлектрика в другой.

Диэлектрики Полученные результаты позволяют построить линии этих векторов при переходе из одного диэлектрика в другой.

Лекция 22 Намагничение вещества. Намагниченность J. Циркуляция вектора J. Вектор Н. Граничные условия для В и Н. Экспериментальные исследования показали, что все вещества в большей или меньшей степени обладают магнитными свойствами. Если два витка с токами поместить в какую-либо среду, то сила магнитного взаимодействия между токами изменяется. Этот опыт показывает, что индукция магнитного поля, создаваемого электрическими токами в веществе, отличается от индукции магнитного поля, создаваемого теми же токами в вакууме. Магнитные свойства веществ определяются магнитными свойствами атомов или элементарных частиц (электронов, протонов и нейтронов), входящих в состав атомов. Вещества крайне разнообразны по своим магнитным свойствам. У большинства веществ эти свойства выражены слабо. Слабо-магнитные вещества делятся на две большие группы – парамагнетики и диамагнетики. Вещества, способные сильно намагничиваться в магнитном поле, называются ферромагнетиками.

Магнетики 22.2 При описании магнитного поля в веществе – магнетите можно, не вдаваясь в природу этих элементарных токов, для простоты считать их все одинаковыми. Пусть каждая молекула вещества характеризуется некоторым магнитным моментом Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина намагниченность J, равная отношению магнитного момента p m макроскопически малого объёма V вещества к этому объему:

Магнетики 22.3 Аналогично тому, как это было сделано для поляризованности Р, намагниченность можно выразить как Намагничивание приводит к преимущественной ориентации магнитных моментов молекул. То же самое можно сказать и об элементарных токах. Преимущественная ориентация элементарных токов приводит к возникновению макроскопических токов – токов намагничивания. Обычные токи, связанные с перемещением в веществе носителей тока называются токами проводимости.

Магнетики 22.4 Оказывается, что для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания I, охватываемых контуром: В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В определяется не только токами проводимости, но и токами намагничивания: Однако оказывается можно найти вспомогательный вектор, циркуляция которого определяется только токами проводимости, охватываемыми контуром. Проведем следующие преобразования:

Магнетики 22.5 Величину, стоящую под интегралом в скобках обозначают буквой Н – напряженность магнитного поля. В итоге мы нашли некоторый вспомогательный вектор Циркуляция которого по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром: Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н В случае многих однородных изотропных веществ, как показывает эксперимент, между намагниченностью и вектором Н есть прямая пропорциональность

Магнетики 22.6 χ – магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика. Магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной. Положительной у парамагнетиков, отрицательной у диамагнетиков. У ферромагнетиков зависимость J от Н носит сложный характер. Петля гистерезиса для ферромагнетиков

Магнетики 22.7 Почти все вещества подчиняются зависимости могут быть разбиты на два класса: – парамагнетики, в которых намагниченность вещества увеличивает суммарное магнитное поле;, они втягиваются в область сильного неоднородного магнитного поля. – диамагнетики, в которых намагниченность уменьшает суммарное поле; диамагнетики выталкиваются из области сильного неоднородного поля.

Магнетики 22.8 В результате можно получить взаимосвязь векторов В и Н. μ – магнитная восприимчивость среды: Найдем соотношение между магнитной индукцией B и напряженностью H магнитного поля в некоторой точке А на границе двух сред. Проведем в точке А единичные векторы: – по касательной вдоль границы раздела сред и n – по нормали к границе, направленной от первой среды ко второй. Построим вблизи точки А небольшой замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны вектору и равны l, а две - вектору n и равны h. Предположим, что по границе раздела внутри контура вблизи точки А не текут макротоки. Из теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля следует, что

Магнетики 22.9 Это равенство должно выполняться при любом значении h и тогда в пределе при получаем Здесь H 1 и H 2 - проекции напряженности H на направление касательного орта в точке А. Поскольку последнее равенство в должно выполняться при произвольном l, находим Таким образом, касательная к поверхности раздела двух сред составляющая напряженности магнитного поля не изменяется при переходе из одной среды в другую.

Магнетики Второе условие получим с помощью теоремы Гаусса для магнитной индукции B. Возьмем охватывающую окрестность точки А небольшую цилиндрическую поверхность S, основания S которой параллельны границе раздела и лежат по разные стороны от нее, а образующая параллельна вектору нормали n. По теореме Остроградского-Гаусса имеем для потока В через всю поверхность S Это равенство должно выполняться при любом значении высоты цилиндра h и в пределе получим т.е. при переходе через границу раздела двух сред, нормальная составляющая вектора магнитной индукции не изменяется.

Магнетики Используя полученные граничные условия для векторов В и Н и связь между ними, найдем ход линий этих векторов при переходе границы раздела, в случае отсутствия токов проводимости Отношение тангенсов углов α 1 и α 2 углов Линии В не терпят разрыва при переходе границы, линии же Н терпят разрыв (из-за поверхностных токов намагничивания).