Консультация 10 июля 2018 г.

Владимир Николаевич Худенко Профессор института физико- математических наук и информационных технологий

к

Начиная, с 2016 года, собственные вступительные испытания по математике в БФУ им. И. Канта проводятся в виде тестов. В тестовом задании 6 задач, которые надо решить за 3 часа и ввести с клавиатуры компьютера ответ или выбрать правильный вариант ответа. Предусмотрено 2 вида тестовых заданий: выбор варианта ответа или короткий ответ (нужно ввести число, как правило, целое). V. Khudenko

5

6

Примерный тип заданий Уравнение (рациональное, логарифмическое, показательное, иррациональные, с модулем); Задача практического содержания; Неравенство; Текстовая задача; Задачи с производной; Задача с параметром. V. Khudenko

Примерный вариант теста Задача практического содержания Постоянные клиенты интернет-магазина получают при покупке скидку 5%. Покупка стоит 800 рублей. Сколько рублей заплатит клиент этого интернет-магазина за покупку, при условии, что стоимость доставки включена в стоимость покупки? Введите сумму в рублях с клавиатуры. V. Khudenko

Задание 2. Решите уравнение и введите с клавиатуры наибольший из полученных корней (в случае единственного корня – это значение). Решение Введем новую переменную V. Khudenko

Тогда Исходное уравнение в новых переменных принимает вид Решаем квадратное уравнение V. Khudenko

Первый корень не удовлетворяет условию у 0 Для второго корня получаем уравнение Корнями этого уравнения являются значения Делаем проверку, подставляя эти значения в самое первое уравнение!

Убеждаемся, что оба значения удовлетворяют исходному уравнения и вводим с клавиатуры значение большего корня т.е. 6 V. Khudenko

3. Решите неравенство В качестве ответа введите с клавиатуры наибольшее целое решение неравенства. Решение Делаем замену Исходное уравнение приводим к виду V. Khudenko

Для решения полученного неравенства применяем метод интервалов Получаем совокупность неравенств V. Khudenko

Возвращаемся к переменной х Уравнение действительных корней не имеет т.к. D = 25 – 28 < 0. Неравенство имеет пустое множество решений, т.к. коэффициент при старшем члене > 0. Решаем систему неравенств V. Khudenko

Решение первого неравенства системы Решение второго неравенства Находим пересечение множеств V. Khudenko

в

Вводим с клавиатуры 6.

Решение Обозначим за х – время, которое проедет второй автомобиль до встречи. Составим таблицу Получаем уравнение Участник движения Время час Скорость км/час Расстояние км Автомобиль из п. А Автомобиль из п. В V. Khudenko

Отвечаем на вопрос задачи! Встреча произошла на расстоянии Километров от пункта А. Вводим с клавиатуры 240 V. Khudenko

Задача 5. На графике функции у = 1 – х 2 найти точку, ближайшую к началу координат. Ввести с клавиатуры вторую координату точки. Проведём графический анализ задачи: V. Khudenko

в

Находим расстояние между текущей точкой графика функции и началом координат, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости Используем очевидный факт (для упрощения выкладок): если расстояние d минимально, то и величина d 2 будет минимальной. V. Khudenko

Исследуем на экстремум функцию Упрощаем Вычисляем производную и приравниваем у нулю Решая уравнение, находим стационарные точки V. Khudenko

Определим характер экстремума в каждой из точек, для этого найдём значение второй производной в каждой из стационарных точек: V. Khudenko

тогда в точке максимум. Также будет в точке Находим ординату точек Вводим с клавиатуры 0,5 V. Khudenko

Задача 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение. Ввести с клавиатуры наименьшее целое решение. Решение Вводим новую переменную Тогда исходное неравенство принимает вид V. Khudenko

Задачу можно переформулировать: найти все значения параметра, когда имеется хотя одно положительное решение Проведем графический анализ задачи V. Khudenko

Первый случай t 1 < 0 < t 2 характеризуется неравенством f(0) <0, где f – квадратичная функция. V. Khudenko

Второй случай 0 < t 1 t 2 это условие выполняется только при выполнении системы V. Khudenko

Третий и четвертый случаи характеризуются равенством V. Khudenko

Объединяем все случаи получаем общий ответ Отвечая на вопрос задачи, вводим с клавиатуры 2. V. Khudenko

Материал, изложенный в презентации можно увидеть здесь: V. Khudenko

Желаю успеха на экзамене!