Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ Институт недропользования Кафедра прикладной геологии, геофизики и геоинформационных систем Презентация на тему: Комплексные числа Выполнил студент группы ТГ-14 Кудеров И.А. Проверил: Бирюлина Т.В. Иркутск-2018

Историческая справка Историческая справка Математическая теория развивается последовательно, от простого к сложному. Разберемся, как возникло понятие, получившее название "комплексное число", и зачем оно нужно. С незапамятных времен основу математики составлял обычный счет. Исследователям было известно только натуральное множество значений. Сложение и вычитание при этом производилось просто. По мере усложнения хозяйственных отношений вместо сложения одинаковых значений начали применять умножение. Появилась обратная операция к умножению – деление.

Историческая справка Понятие натурального числа ограничивало использование арифметических операций. На множестве целых значений невозможно решать все задачи деления. Работа с дробями привела сначала к понятию рациональных значений, а потом и к иррациональным значениям. Если для рационального можно указать точное расположение точки на линии, то для иррациональных такую точку указать невозможно. Можно только приблизительно указать интервал нахождения. Объединение рациональных и иррациональных числе образовали вещественное множество, которое можно представить как некоторую линию с заданным масштабом. Каждый шаг по линии - это натуральное число, а между ними располагаются рациональные и иррациональные значения.

Историческая справка Началась эпоха теоретической математики. Развитие астрономии, механики, физики требовало решения все более сложных уравнений. В общем виде были найдены корни квадратного уравнения. При решении более сложного кубического многочлена ученые столкнулись с противоречием. Понятие кубического корня из отрицательного имеет смысл, а для квадратного получается неопределенность. При этом квадратное уравнение - только частный случай кубического.

Основные понятия Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z ( a = Re z ), а b - мнимой частью (b = Im z). Если a = Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z =0, то число z будет действительным. Числа z=a+ib и называются комплексно – сопряженными.

Основные понятия Два комплексных числа z 1 =a 1 +ib 1 и z 2 =a 2 +ib 2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: a 1 =a 2; b 1 =b 2 Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части a=b=0.

Формы записи комплексного числа Алгебраическая форма Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи. Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде : z = x + i y где использован символ i, называемый мнимой единицей. Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z. Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа Из формулы вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде z = r (cos φ + i sin φ), где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0. Формы записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа Формула Эйлера: cos φ + i sin φ = e iφ Из формулы Эйлера и тригонометрической формы записи комплексного числа вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде z = r e iφ, де r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).

Формула Эйлера Математики часто употребляют показательную форму. Числа комплексной плоскости записывают в виде выражения z = r *e^i×, которая вытекает из формулы Эйлера. Такая запись получила широкое распространение для практического вычисления физических величин. Форма представления в виде показательных комплексных чисел особенно удобна для инженерных расчетов, где возникает необходимость рассчитать цепи с синусоидальными токами и необходимо знать значение интегралов функций с заданным периодом. Сами расчеты служат инструментом при конструировании различных машин и механизмов.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел Комплексному числу будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка: (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.

Основные свойства комплексных чисел 1. Переместительный закон сложения: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 2. Ассоциативный или сочетательный закон: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 3. Переместительный закон умножения: z 1 · z 2 = z 2 · z 1 4. Распределительный закон: z 1 · (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Операции вычитания и деления вводятся как обратные к операциям сложения и умножения: – разностью двух чисел z 1 и z 2 называется число z 3 такое, что сумма z 3 и z 2 равна z 1, т.е. z 1 – z 2 = z 3 : z 1 = z 2 + z 3, – частным двух чисел z 1 и z 2 называется число z 3 такое, что произведение z 3 и z 2 равно z 1, т.е. : z 1 = z 2 · z 3.

Операции с комплексными числами Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Умножение (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac bd) + (bc + ad)i Деление

Поле и сопряжение В завершение дадим два важных определения, которые оказывают мало значения для решения прикладных задач с комплексными числами, но существенны при дальнейшем развитии математической теории. Говорят, что выражения сложения и умножения образуют поле, если удовлетворяют аксиомам 1. От перемены мест комплексных слагаемых комплексная сумма не меняется. 2. Верно утверждение - в сложном выражении любую сумму двух чисел можно заменить на их значение.

1. Существует нейтральное значение 0, для которого верно z + 0 = 0 + z = z. 2. Для любого z существует противоположность – z, сложение с которым дает ноль. 3. При перемене мест комплексных множителей комплексное произведение не меняется. 4. Умножение двух любых чисел можно заменить на их значение. 5. Существует нейтральное значение 1, умножение на которое не меняет комплексное число. 6. Для каждого z 0, есть обратное значение z-1, умножение на которое дает в результате 1.

1. Умножение суммы двух чисел на третье равносильно операции умножение каждого их них на это число и сложение результатов Числа z1 = x + i×y и z2 = x - i×y называются сопряженными. Теорема. Для сопряжения верно утверждение: Сопряжение суммы равно сумме сопряженных элементов. Сопряжение произведения равно произведению сопряжений. Сопряжение сопряжения равно самому числу. В общей алгебре такие свойства принято называть автоморфизмом поля.