Колебания и волны Лекция г. 1

План 1. Колебательные процессы. Гармонические колебания. Понятие о спектральном разложении. 2. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. 3.Пружинный, физический и математический маятники. 4. Энергия гармонического осциллятора. 5. Сложение колебаний. 5 а. Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой. 5b. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. 5 с. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу. 1. Затухающие колебания. 2. Вынужденные колебания. 3. Упругие волны. Основные понятия. 4. Дифференциальное уравнение волны. 5. Стоячие волны. 6. Скорость упругих волн. 7. Энергия волны. Групповая скорость. Вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Интенсивность волны. 8. Элементы акустики. 9. Эффект Доплера для звуковых волн. 2

3

4

5

6

7

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний 8

9

10

11

12

Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой (по методу векторных диаграмм) Точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты: Результирующее колебание имеет ту же частоту: Результирующее колебание имеет ту же частоту: Задача – определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания 13

Метод векторных диаграмм По теореме косинусов: 14

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты 15

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты В общем случае это уравнение эллипса: 16

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты: частные случаи Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты: частные случаи 1) 2) 3) 17

18

19

20

21

Затухающие колебания: величины, характеризующие затухание Затухающие колебания: величины, характеризующие затухание Добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду: Добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду: При условии малости затухания : 1) Логарифмический декремент затухания: 2) Время релаксации: За время релаксации амплитуда уменьшается в е раз: Число колебаний за время релаксации: 3) Добротность: Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации: 22

23

Вынужденные колебания. Резонанс График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы (резонансной частоте) называется резонансом Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы (резонансной частоте) называется резонансом 24

Упругие волны. Основные понятия Волна – это процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве В продольной волне колебания происходят параллельно направлению распространения волны – происходит деформация сжатия-растяжения (такие волны возможны в газах, жидкостях и твёрдых телах) В поперечной волне колебания происходят перпендикулярно направлению распространения – происходит деформация сдвига (только в твёрдых телах) 25

Упругие волны. Основные понятия совокупность точек, до которых дошла волна в данный момент времени (сферический, плоский) направление распространения волны. В изотропной среде луч перпендикулярен волновому фронту направление распространения волны. В изотропной среде луч перпендикулярен волновому фронту Волновой фронт – Луч – любая точка волнового фронта является точечным источником вторичных сферических волн (объясняет процесс распространения волн) любая точка волнового фронта является точечным источником вторичных сферических волн (объясняет процесс распространения волн) Принцип Гюйгенса: 26

Упругие волны. Уравнение плоской волны При распространении упругих волн в среде любая частица колеблется около своего положения равновесия. Переноса частиц среды не происходит. Волной переносится энергия. Все частицы колеблются с одинаковой частотой, определяемой частотой источника Колебания любой новой частицы, захваченной волновым процессом, отстают по фазе от колебаний предыдущей частицы Скорость перемещения фиксированной фазы называется фазовой скоростью 27

Упругие волны. Уравнение плоской волны Замена даёт уравнение колебаний в точке x: В произвольной точке x колебания запаздывают по фазе Уравнение колебаний источника в точке x=0: – время запаздывания (за это время волна дойдёт до точки x ) Волновой вектор (волновое число) Длина волны: Функция двух переменных: x и t 28

Волны: длина волны; волновой вектор; фазовая скорость Волновой вектор (волновое число) характеризует быстроту изменения фазы в пространстве Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду: Длина волны – минимальное расстояние между точками, которые колеблются в одной фазе Круговая частота характеризует быстроту изменения фазы с течением времени Скорость перемещения фиксированной фазы (фазовая скорость): 29

Волны. Дифференциальное уравнение волны Возможные решения уравнения: Это – дифференциальное уравнение волны, распространяющейся вдоль оси OX – дифференциальное уравнение волны для более общего случая; здесь – оператор Лапласа: Сферическая волна Общий случай плоской волны Плоская волна бежит в отрицательном направлении оси OX Плоская волна бежит в положительном направлении оси OX 30

31

32

Скорость упругих волн скорость распространения волн по натянутой струне скорость распространения упругих продольных волн скорость распространения упругих поперечных волн скорость звука в газе ρ – плотность, F – сила натяжения струны, S – её сечение ρ – плотность, E – модуль Юнга, G – модуль сдвига R –универсальная газовая постоянная, T – температура, μ – молярная масса, γ – показатель Пуассона (показатель адиабаты, константа для данного газа, например, для воздуха γ=1.4 ) 33

34

35

36

Вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Интенсивность волны Вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Интенсивность волны Вектор плотности потока энергии численно равен энергии, перенесённой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную лучу – интенсивность волны (среднее значение плотности потока энергии) групповая скорость 37

38

Элементы акустики: кривые равной громкости Громкость = уровню интенсивности только при ν=1000 Гц. Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости: Громкость = уровню интенсивности только при ν=1000 Гц. Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости: 39

40

41

42

43

44