Көп айнымалылар функциясы Петропавл құрылыс экономикалық колледжінің студенті Абдраман Алия

жоспары 1. Көп айнымалылар функциясы туралы ұғым. 2. Екі айнымалылар функция сының шегі және үзіліссіздігі 3. Дербес туындылар. 4. Дербес және толық дифференциал дар. 5. Екі айнымалы функция сының экстремум дары. 6. Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері 2

Көп айнымалылар функциясы туралы ұғым АНЫҚТАМА. Айталық, Х, У, Z қандай да бір сандра жиындары берілсін. Егер х Х, у У айнымалы шамаларының мәні бола алтын әрбір (х, у) сандра жұбына белгілі бір заң бойынша z Z айнымалысының бірғана мәні сәйкес колес, ходна z айнымалы х және у екі айнымалы функция деп аталады да z=f (х, у) түрінде жазылады. z санин f функция сының (х, у) нүктесіндегі мәні деп те атайды. z айнымалысын тәуелді айнымалы, х және у айнымалыларын тәуелсіз айнымалылар немесе аргумент тер деп атайды; жиыны- функцияның анықталу облысы, ал Z жиыны- функцияның мүмкін мәндер жиыны деп аталады. ХОУ тікбұрышты координаталар жүйесінде әрбір (х, у) сандра жұбына бір ғана М нүктесі сәйкес келетін болғандықтан, екі айнымалылар функция сын М нүктесінің функциясы ретінде қарастыруға болады және оны ножа зады. Бұл жағдайда функцияның анықталу облысы жазықтықтың қандай да бір нүктелер жиыны болып табылады. 3

Көп айнымалылар функциясы туралы ұғым ХОУ тікбұрышты координаталар жүйесінде әрбір (х, у) сандра жұбына бір ғана М нүктесі сәйкес келетін болғандықтан, екі айнымалылар функция сын М нүктесінің функциясы ретінде қарастыруға болады және оны ножа зады. Бұл жағдайда функцияның анықталу облысы жазықтықтың қандай да бір нүктелер жиыны болып табылады. 4

Мысал. - екі айнымалының функция сының анықталу облысын табу керек. Шешуі. Берілген функция, яғни болғанда анықталады. Бұл теңсіздікті радиусы R=3, центрі координаталар бас нүктесі болатын дөңгелектің ішінде және шекарасында жатқан барлық нүктелердің координата лары қанағаттандырады. Сходнай-ақ, дөңгелектің өзі де функцияның анықталу облысы болып табылады. Жоғарыда келтірілген анықтамаға ұқсас үш айнымалылар, төрт айнымалылар және сол сияқты, жалпы алғанда n айнымалылар функцияларының анықтамасын берегу болады. 5

Екі айнымалылар функция сының шегі және үзіліссіздігі Айталық, функциясы қандай да бір жиынында анықталған болсын және нүктесінің кез келген аймағында жиынының ең болмағанда бір нүктесі бар болсын. 1-АНЫҚТАМА: Егер функциясы М 0 нүктесінің аймағында анықталған және үшін, болғанда қатынасы орындалтын бокса, ходна А саны функция сының М 0 нүктесіндегі шегі деп аталады және ол мы на түрде жазылады: немесе 2-АНЫҚТАМА: Егер немесе бокса, ходна функциясы М 0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады. 6

Дербес туындылар Айталық функциясы нүктесінің қайсыбір аймағында анықталған болсын. М нуктесінде х айнымалысына х өсімшесін берейік, ал у айнымалысының мәні өзгерусіз қалсын. Онда функцияның сәйкес өсімшесі функцияның нүктесіндегі х айнымалысы бойынша дербес өсімшесі деп аталады. Сол сияқты функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсімшесі анықталады: АНЫҚТАМА: Егер шегі бар бокса, ходна ол функция сының М нүктесіндегі х айнымалысы бойынша (у айнымалысы бойынша) алынған дербес туындысы деп аталады және символдарының бірімен белгіленеді. 7

Дербес дифференциал дар АНЫҚТАМА: функция сының дербес өсімшесінің х-қа қатысты ( у-ке қатысты) пропорционален бас бөлігі осы функцияның х айнымалысы (у айнымалысы) бойынша дербес дифференциалы деп аталады. х және у айнымалы шамаларының дифференциал дары олардың өсімшелеріне тең, яғни. Дербес дифференциал дарды былой белгілейміз: х бойынша дербес дифференциал, у бойынша дербес дифференциал және Сонымен екі айнымалы функцияның дербес дифференциалы осы функцияның сәйкес дербес туындысы мен айнымалысының дифференциалыың көбейтіндісіне тең. 8

Толық өсімше және толық дифференциал функция сының екі аргументінің де өзгеруі бойынша алынған өсімшесі толық өсімше деп аталады. АНЫҚТАМА: функция сының толық өсімшесінің айнымалылардың өсімшелеріне қарасты сызықты бас бөлігі функцияның толық дифференциалы деп аталады. Теорема. Екі айнымалы функцияның толық дифференциалы оның дербес дифференциал дарының қосындысына тең. немесе Ал және болғандықтан Мысал. функция сының толық дифференциалы табу керек. Функцияның дербес дифференциалы х бойынша табамыз: 9

Екі айнымалы функция сының экстремум дары аймағында кем легенде екінші ретке дейінгі дербес туындылары бар функция сын қарастырайық. Аймақтан бір бекітілген нүкте алайық,. Осы нүктенің теңсіздігі орындалтындай белгілі бір аймағы бар бокса, ходна нүктесі локальдық максимум нүктесі деп аталады. Ал сходнай аймақта теңсіздігі орындалар бокса, ходна - локальдық минимум болады. Максимум және минимум нүктелері локальдық экстремум нүктелері дейді. Оларды табу үшін функцияның дербес туындыларын нөлге теңейміз: Бұл теңдіктер локалдық экстремумның бар болуының қажетті шарттары болып табылады. Жүйенің шешулері функцияның стационар нүктелері болады. Оларға ең болмаса бір дербес туындысы жоқ болатын нүктелерді қоссақ, оларды сыне нүктесі дейді. 10

Қажетті шарт орындалған жағдайда да, кейбір сыне нүктелерде функцияның локалдық экстремум дары болмауы мүмкін. Экстремумның бар болуының жеткілікті шорты келесі теорема мен беріледі. Теорема. Функцияның екінші дербес туындылары болатындай функция сының сыне нүктесі бар бокса, ходна: 1. егерьь бокса, ходна нүктесінде экстремум бар болып және болғанда,, ал болғанда, болады; 2. егерьь бокса, ходна нүктесінде локалдық экстремум жоқ. 3. бокса, ходна локалдық экстремум туралы ештеңе сайта алмаймыз. Қосымша зерттеулер қажет. 11

Мысал. функция сының экстремум дарын табыңыз. Шешуі: Мұнда Теңдеулер жүйесін шешіп, функцияның стационар нүктелерін анықтаймыз:,. Берілген фукцияның екінші ретті дербес туындыларын табамыз: нүктесінде тең болады. Бұдан, яғни. болғандықтан нүктесінде функцияның локалдық максимумы бар: Ал, нүктесінде болып, болады. Бұл жағдайда қосымша зерттеулер жасаймыз. нүктесінде функция мәні тең. болғанда,, ал болғанда,. Сонымен нүктесінің аймағында функциясы теріс те, оң мәндер қабылдайды. Олай бокса, нүктесінде функция экстремумы жоқ 12

Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері Тұйық аймағында үздіксіз функциясы, осы аймақтың кейбір нүктелерінде ең үлкен, ең кіші мәндерін қабылдайды делік. Мұны функцияның глобалдық экстремум дары деп атайды. Сонымен берілген функция тұйық аймағында үздіксіз бокса, ходна осы аймақта (ішінде немесе шекарасында) болатын және нүктелері табылады. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу ережесі: 1. Берілген функцияның дербес туындыларын тауып сыне нүктелерін анықтаймыз. Осы нүктелердегі функция мәндерін табамыз; 2. Аймақ шекарасындағы нүктелердегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табамыз; 3. Бүкіл табылған функция мәндерін салыстыра отырып, ең үлкен және ең кіші мәндерін таңдап алмаз. 13

14 Әдебиет: И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. ( учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2003 г. В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект г. И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002 г. Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.

15 Назарларыңызға рахмет.