Евклид и его «Начала» МОСЕЕВ КИРИЛЛ 7Е

Кто такой Евклид? Евклид или Эвклид (др.-греч. Ε κλείδης «добрая слава») древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н. э. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

«Начала» Евклида Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее другими древнегреческими математиками. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино. Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

Что изучается в «Началах» I книга I книга свойства треугольников и параллелограммов и начальные геометрические сведения. II книга теоремы так называемой «геометрической алгебры». III книга предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах. IV книга предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников. V книга общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским. VI книга учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию. VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии. X книга классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал». XI книга начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов. XII книга теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой. XIII книга построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Содержание I книги. Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 17) гласят: 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия длина без ширины. 3. Края же линии точки. 4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. 5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. 6. Края же поверхности линии. 7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях. Для тех, кто хочет знать больше За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 15): 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 19): 1. Равные одному и тому же равны и между собой. 2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. 3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. 4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны. 5. И удвоенные одного и того же равны между собой. 6. И половины одного и того же равны между собой. 7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой. 8. И целое больше части. 9. И две прямые не содержат пространства. Далее следует несколько теорем. Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

Спасибо за внимание!