Выполнили: ст. гр. МАГ Медведева К.С. Ситников А.В.

Нестационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе Для вязкой несжимаемой жидкости уравнение движения имеет вид: где υ – скорость жидкости вдоль оси трубопровода; η – динамическая вязкость жидкости; ρ – плотность жидкости; Δp – перепад давления. Нестационарность при движении несжимаемой вязкой жидкости может быть в следующих случаях. Начальные условия нулевые (распределение скорости в начальный момент времени равно нулю): При переходном режиме (в какой-то момент времени изменяется перепад давления), начальное распределение скорости соответствует стационарному:

Нестационарное движение между двумя параллельными пластинками Нестационарное движение между двумя параллельными пластинками соответствует движению в кольцевой щели толщиной значительно меньше по сравнению с ее длиной (к такого типа щели можно отнести зазор глубинного насоса). В этом случае: Нестационарность происходит в основном ввиду переменности скорости плунжера- пластины. Отражается на стационарности и изменение давления. Задаются два граничных условия: - на цилиндре задается нулевое граничное условие; - на плунжере задается скорость. Начальное условие принято нулевое.

Нестационарное движение сжимаемой жидкости и газа в трубопроводе Для данного случая уравнение можно записать или относительно давления, или относительно скорости (расхода): При пусковом периоде начальные условия нулевые для скорости и постоянные для давления: Для переходного режима начальные условия могут быть следующие: Начальное условие для можно преобразовать в начальное условие для при помощи уравнения: На границах трубопровода можно задать:

Одно из условий для p можно преобразовать в условие для скорости при помощи уравнения: Если к трубопроводу присоединить поршневой насос, турбину, компрессор или другие регуляторы расхода или давления, граничные условия примут вид: где h – постоянная, характеризующая работу агрегата; f(t) – расход жидкости. При вытеснении одной жидкости другой на границе раздела задаются кинематические условия (для одномерного течения):

Упруго-пластические деформации Рассмотрим малый элемент стержня. Δx 0 – длина элемента перед прохождением волны разгрузки. Длина малого элемента после прохождения фронта: Деформация элемента: Откуда получаем кинематическое условие совместности: Динамическое условие совместности: А с учетом закона Гука находим:

Классификация дифференциальных уравнений Рассмотрим уравнения для двух переменных: Это уравнение классифицируется в зависимости от знака произведения: D 1 >0 – уравнение гиперболического типа; D 1 <0 – уравнение эллиптического типа; D 1 =0 – уравнение параболического типа.

Для одномерного течения: D 1 =0, уравнения являются параболическими. Для стационарных плоских потоков: D 1 <0, уравнения являются эллиптическими. Для: D 1 >0, уравнение является гиперболическим.

Рассмотрим одномерное уравнение типа теплопроводности: Рассмотрим замену одним безразмерным аргументом:, где Тогда: В результате чего получаем: Для уравнения гиперболического типа: Можно получить уравнение путем замены: В этом случае: Тогда уравнение принимает вид: Т.к. t не должно участвовать в уравнении, следовательно, т.е.

В условиях для u(ξ) аргумент ξ должен принимать определенное значение, что может быть при определенных значениях x и t: ξ принимает определенные значения в случае бесконечной области, полубесконечной, в случае подвижных границ (закон движения которых определен).

при и при Значит:, т.е. При x=0: или Уравнение, удовлетворяющее данным условиям имеет следующее решение: обозначая получаем уравнение с разделяющимися переменными решая его, находим: Используя вышеприведенные условия определяем: Итого, окончательно:

Решение уравнения типа теплопроводности можно искать в виде: Тогда: Такая подстановка приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению: Для граничных условий получаем:

Рассмотрим изотермическую однородную нестационарную фильтрацию идеального газа в пористой среде: Тогда: Подставляя Получаем: После подстановки, т. е. Находим: Необходимо, чтобы т.е. положить Т.о. приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению при

Рассмотрим процесс, описываемый уравнением гиперболического типа, на примере трубопроводного транспорта в случае пренебрежения силами трения: Аналогично получаем Будем решать задачу поршневого вытеснения газа водой из трубопровода. p 0 – давление на подвижной границе раздела p 1 – давление в начале трубопровода υ 0 – скорость границы раздела Тогда: Рассмотрим решение задачи с подвижной границей. Для нестационарного движения несжимаемой вязко-пластической жидкости между двумя бесконечными пластинками, одна из которых подвижна, имеем: С учётом закона Бингама: Получаем: Предположим: при t<0 – нижняя пластинка была неподвижна, верхняя двигалась с постоянной скоростью υ 0 при t>0 обе пластинки движутся с некоторыми скоростями

На границе раздела вязко-пластической и упругой областей движения при x=x 0 и τ=τ 0 из закона Бингама получаем Запишем уравнение движения упругой области движения: В упругой области Т.к., следовательно Задавая закон изменения x 0 в виде получаем От двух переменных аргументов x и t можно перейти к одному аргументу ξ и решение искать в виде Далее Условие на подвижной границе в новых переменных представляется как:

Т.о. для функции f(ξ) имеем задачу Коши, при заданы значения функции и ее производной. Решением уравнения при условиях будет Для скорости движения верхней и нижней пластинок получаем соответственно: α можно определить из уравнения:

Рассмотрим решение типа стационарной волны с постоянной скоростью. В этом случае Тогда Решение уравнения имеет вид При условии, что давление закачки меняется по закону На подвижной границе давление принимается постоянным Тогда Из кинематического условия на подвижной границе: находим

Пусть жидкость движется со скоростью υ (x, y, z, t). υ x (x, y, z, t), υ y (x, y, z, t), υ z (x, y, z, t) – проекции на оси координат. Траектории отдельных частиц жидкости будут определяться уравнениями: Отсюда ускорение частицы жидкости: Уравнения гидродинамики и звуковых волн

Рассмотрим некоторый объем жидкости V, ограниченный поверхностью S. С учётом формулы Остроградского: Откуда: – уравнение неразрывности.

Рассмотрим вывод уравнений движения идеальной жидкости. Равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности S: С учётом формулы Остроградского: Равнодействующая внешних сил, приложенных к объему V: Равнодействующая сил инерции, действующих на жидкость в объеме V: Применяя принцип ДАламбера получим: Отсюда: Или в скалярной форме: Полученные уравнения – уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Будем считать, что движение жидкости происходит адиабатический. Значит, В частном случае: – изэнтропическое движение жидкости. При этом:

Колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости или газе называют звуковыми волнами. Положим: Уравнение непрерывности примет вид: или, полагая: получим: Уравнения Эйлера, считая, что внешние силы отсутствуют, сводятся к уравнениям: или Далее,

Предположим, что в начальный момент существует потенциал скоростей Тогда Покажем, что потенциал скоростей удовлетворяет волновому уравнению. Дифференцируя последнее уравнение по t два раза получим: С другой стороны: Значит: Отметим, что: Пусть жидкость или газ занимают в пространстве объем V, ограниченный поверхностью Σ. Тогда: начальные условия: граничное условие: