Тема урока:

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость.

Точка А` является параллельной проекцией точки А на плоскость π в направлении прямой. Если точка А принадлежит прямой, то параллельной проекцией А на плоскость π считается точка пересечения прямой с плоскостью π. Такое соответствие называется параллельным проектированием. Точка А` является параллельной проекцией точки А на плоскость π в направлении прямой. Если точка А принадлежит прямой, то параллельной проекцией А на плоскость π считается точка пересечения прямой с плоскостью π. Такое соответствие называется параллельным проектированием. (рис. 1) Рис.1

Пусть Ф – некоторая фигура в пространстве. Проекции её точек на плоскость π образует фигуру Ф`, которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой. (рис. 2) Ф Ф`Ф` π Рис. 2

Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой, то её проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой, то её проекцией является прямая. (рис. 3) Рис. 3

Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок в зависимости от того, лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой, или нет. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка. (рис. 4) Рис. 4

Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой, то их проекции в направлении могут быть или параллельными прямыми, или одной прямой. (рис. 5) Рис. 5

Пример 1. Какой фигурой может быть параллельная проекция на плоскость двух прямых? ( 332) Решение. Рассмотрим все возможные случаи. Если прямые пересекаются и ни одна из них не параллельна направлению проектирования, то они проектируются в пересекающиеся прямые (рис. 6); если же одна из них параллельна направлению проектирования, то плоскость, которая определяется этими прямыми, проектируется в одну прямую (в этом случае плоскость параллельна направлению проектирования). (рис. 7) b π а а'а'b' Рис. 6 аb π а'а' Рис. 7

Если прямые параллельны, то они проектируются или в две параллельные прямые (их плоскость не параллельна направлению проектирования) (рис. 8), или в одну прямую (их плоскость параллельна направлению проектирования, но сами они не параллельны направлению проектирования) (рис. 9), или в две точки (прямые параллельны направлению проектирования). (рис. 10) а b a'a' b'b' π Рис. 8 а b π а(b) Рис. 9 а b π Рис А В

Если прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования, то они проектируются соответственно в прямую и не принадлежащую ей точку. (рис.11) π b а а'а'. b'b' Рис. 11

Пример 2. Отрезок АВ, равный а, параллелен плоскости проектирования. Найди длину его параллельной проекции... π.. Рис. 12 А А'А' В В'В' Решение. Пусть параллельными проекциями точек А, В будут соответствовать точки А', В'. Тогда четырехугольник АВВ'А' будет параллелограммом (АА' параллельна ВВ', АВ параллельна А'В'). Следовательно, АВ=А'В'= а. Таким образом, длина параллельной проекции отрезка, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования, равна длине отрезка. (рис. 12)

Домашнее задание!!! Прочитать и законспектировать П. 1, стр (учебник Атанасян), § 9, стр (учебник Бевз), 1-3, стр (устно), 334, 342, 346 (в рабочих тетрадях);