Оптимальное планирование эксперимента

Цель планирования эксперимента нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности

Вводные понятия Эксперимент – система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получений информации об исследуемом объекте [1] Опыт – воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов [1] Фактор – переменная величина, по предположению зависящая влияющая на результат эксперимента Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов [1] Функция отклика – зависимость мат. ожидания отклика от факторов [1]

Краткая классификация экспериментов

Функция отклика - это зависимость математического ожидания отклика от факторов [1]

Активный эксперимент Основная задача – определить коэффициенты функции отклика Уравнение (*), используется для описания функции отклика в связи с ее априорной неизвестностью x, x – переменные факторы при i=1,…k; u=1,…k; i!=u (k-число факторов) коэффициенты влияния факторов регрессионная модель (коэффициенты регрессии определяются экспериментально) Полнофакторный эксперимент (ПФЭ) – эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов

Последовательность проведения активного эксперимента 1. Разрабатывается схема проведения исследований, т.е. выполняется планирование эксперимента 2. Осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, т.е. осуществляется сам активный эксперимент 3. Выполняется обработка результатов измерений

Планирование активного эксперимента При планировании экспериментов чаще всего применяются планы 1-ого и 2-ого порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за их большой вычислительной сложности Планы 1-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащее только первые степени факторов и их произведения Планы 2-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов

Планирование первого порядка В качестве факторов выбираются только контролируемые и управляемые факторы (переменные) Обеспечивается возможность независимого изменения каждого из факторов и поддержание его на определенном уровне Для каждого фактора указывается интервал (+/-), в пределах которого ставится исследование

Представления плана эксперимента (на примере эксперимента с 3-мя независимыми факторами) Номер опыта План Результат y x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1x2x y y y y y y y y8 Табличное (матричное) представление Геометрическое представление Уравнением регрессии b 0, b 1, b 2, b 3 – коэффициенты регрессии x i *x u – члены двойного взаимодействия x 1 *x 2 *x 3 – члены тройного взаимодействия

Свойства матрицы представления эксперимента 1. Свойство симметричности – алгебраическая сумма элементов вектор- столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену) 2. Свойство нормирования – сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов 3. Свойство ортогональности – скалярное произведение всех вектор- столбцов (сумма почленных произведений элементов любых вектор столбцов) равно нулю i = номер фактора, j – номер опыта

Определение коэффициентов b уравнения регрессии По свойствам матрицы планирования Методом наименьших квадратов находятся оценки b коэффициентов Получаем

Планирование второго порядка Применяется если описание функции отклика первым порядком получается недостаточным (например, процесс носит нелинейный характер) Каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях – полный эксперимент содержит 3^k (k – количество факторов) опытов. План 2-ого порядка при k=2 n=1 Опыты проводятся 1. В «крайних точках» - как в планировании 1-ого порядка 2. В «звездных точках» - x i =(+/-)a, x j =0, 1,…,n; 1,…,n; i!=j 3. В «центре» - x i =0, j=1,2,3,…,n Уравнение регрессии для эксперимента с 2-мя факторами

Ортогональный план Ортогональный план 2-ого порядка Это план 2-ого порядка после преобразован ий (*) Эти преобразован ия позволяют усреднить случайные погрешности Тогда уравнение регрессии В итоге уравнение регрессии преобразуется к виду

Ротатабельный план Ротабельный план 2-ого порядка Это план, у которого точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах) В таком плане точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая, что позволяет наилучшим образом извлечь максимальное количество (несмещенной) информации из плана Для того, что бы привести план 2-ого порядка к рототабельному величину плеча выбирают из условия (**)