МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ Факультет математики и информационных технологий Кафедра математического анализа Курсовая работа на тему Применение степенных рядов при вычислении определенных интегралов Выполнила: студентка 2 курса факультета математики и информационных технологий группы МИ-21 Исхакова Г. Р. Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент кафедры математического анализа Сабитова Ю.К.

Цель Цель данной курсовой работы состоит в изучении степенных рядов и их применении для решения определенных интегралов.

Задачи Для достижения цели необходимо решить следующие задачи: изучить основные понятия степенного ряда; рассмотреть виды степенных рядов; изучить ряды Тейлора и Маклорена; применить полученные знания для вычисления определенных интегралов с помощью степенных рядов.

Понятие степенного ряда Функциональный ряд вида где не зависят от переменной, называется степенным относительно переменной рядом. А числа называются коэффициентами этого ряда.

Виды степенных рядов Степенные ряды, как и функциональные, делятся на два вида: вещественные степенные ряды – ряды, в которых может принимать только вещественные значения, и коэффициенты ряда – тоже вещественные числа; комплексные степенные ряды – ряды, в которых может принимать только комплексные значения, и коэффициенты ряда – тоже комплексные числа.

Теорема Абеля Если степенной ряд сходится при некотором, то он сходится абсолютно при всех значениях, для которых. Наоборот, если ряд расходится при, он расходится при всех значениях, для которых.

Круг сходимости ряда Для каждого степенного ряда существует такое вещественное не отрицательное число, что ряд при сходится, при расходится.

Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости Теорема. Степенной ряд сходится равномерно в любом замкнутом круге, содержащемся в его круге сходимости. Теорема(о непрерывности суммы ряда). В любой замкнутой области, лежащей внутри круга сходимости ряда, сумма рядов является непрерывной функцией.

Теорема о почленноеем интегрировании степенного вещественного ряда Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

Теорема о почленноеем интегрировании степенного комплексного ряда Если степенной ряд сходится равномерно на некоторой кривой, то его можно интегрировать вдоль этой кривой почленноее.

Ряд Тейлора и Маклорена Представление функции в виде ряда называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Схема вычисления определённых интегралов с использованием степенных рядов 1. Разложить подынтегральную функцию в ряд (обычно в ряд Маклорена). 2. Произвести почленноеее интегрирование членов записанного в первом пункте ряда. 3. Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью.

Вычисление интеграла с помощью степенного ряда Задание. Вычислить определенный интеграл с точностью до, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировать почленноее.

Решение. Начнем с разложения функции в ряд Маклорена. Запишем разложение функции в ряд Маклорена: Данное разложение верно при всех. Подставим вместо : Забирая из суммы первый член, получим: Следовательно:

Последнее, что остаётся – это разделить на : Интегрируем полученное разложение на отрезке : Так как, то для вычисления интеграла с точностью достаточно первого члена полученного числового ряда:

Заключение В данной курсовой работе была выполнена поставленная цель – изучить степенные ряды и их применение для решения определенных интегралов, через решение следующих задач: изучить основные понятия степенного ряда; рассмотреть виды степенных рядов; ряды Тейлора и Маклорена; применить полученные знания для вычисления определенных интегралов с помощью степенных рядов.