Работу выполнил ученик 10 «А» класса Медведев Алексей Параллельность прямых, прямой и плоскости в пространстве

Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых a и b обозначается так : a b или b a.

Teерема 1 Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну. Доказательство : 1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α. 2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b точку A. 3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома ), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.

Te ерема 2 Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну. Доказательство : 1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α. 2. Такая плоскость только одна ( т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну ). 3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

Teерема 3 Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. (1. рис.)(2. рис.)

Доказательство : Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M (1. рис.). Из 1- ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (2. рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома ). Прямые a, b и c находятся в плоскости β. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c. Точку пересечения прямых a и c обозначим за K. Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.

Teерема 4 Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Дано : a c и b c Доказать : a b Дано: a c и b c Доказать: a b

Доказательство : Выберем точку M на прямой b. Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α ( Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость ). Возможны два случая : 1. прямая b пересекает плоскость α или 2. прямая b находится в плоскости α. Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α. Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны. Пусть у прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых. Выводы : 1. Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой. 2. Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность : если a b и b c, то a c.

Пример: Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость. Допустим, что у параллелограмма ABCD сторона AD пересекает плоскость α в точке K. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.

Параллельность прямой и плоскости Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве : 1. прямая лежит ( находится ) в плоскости 2. прямая и плоскость имеют только одну общую точку ( прямая и плоскость пересекаются ) 3. прямая и плоскость не имеют общих точек Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Te ерема 5 « Признак параллельности прямой и плоскости ». Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой - нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости. Доказательство : Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Te ерема 6 Если плоскость β проходит через данную прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b a. Обратите внимание ! Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Te ерема 7 Если одна из двух параллельных прямых a b параллельна данной плоскости α, то другая прямая либо параллельна этой плоскости либо лежит в этой плоскости. Обратите внимание ! Последние две теоремы очень часто используются при решении задач.

Применение параллельных прямых в жизни Без параллельных прямых невозможна наша жизнь ! На уроках геометрии мало времени дается на изучение параллельных прямых. Отсюда возникает проблема - недостаток информации по теме « параллельные прямые » в школьном курсе математики. В жизни мы часто встречаемся с понятиями параллельные прямые. Название параллельных прямых произошло от греческого слова « параллелей », которое означает « рядом идущие ». Рассмотрим разные определения параллельных прямых Евклида и Посидония. А теперь то современное определение, которое используем мы. Для обозначения параллельности двух прямых древнегреческие математики использовали знак «=». Однако когда в 18 в. этот знак стал использоваться как знак равенства, параллельность стали обозначать с помощью знака «//». И если прямые а и в параллельны, то мы будем записывать это так : а // в.

Мы привыкли слышать и видеть, что параллельные прямые никогда не пересекаются ! Действительно ли невозможно пересечение параллельных прямых ? Быть может существует точка пересечения параллельных прямых ? Попытаемся ответить на эти вопросы. В жизни мы часто встречаемся с понятием параллельности. Самый наглядный пример параллельности прямых - железнодорожное полотно.

При строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.

Еще одним примером применения понятия параллельных прямых, является эскалатор. Все эти устройства помогают нам в повседневной жизни. Если бы не было параллельных прямых, то например, произошло крушение поезда или замыкание проводов и нет электричества. Но свойства параллельных прямых используется гораздо шире.

Но с другой стороны мы столкнулись со странным явлением : устремляя взгляд далеко в бесконечность, можно увидеть пересечение параллельных прямых ! В чем же дело ? Чтобы ответить на этот вопрос обратимся к великим ученым. Но сначала был проведён эксперимент « Иллюзии зрения ». Испытуемым задали вопрос : везде ли на картинках параллельные прямые ? Результаты опроса таковы : участвовали 20 человек из них : 11 – 55% считают параллельно, % нет. Вывод : в геометрии истинность каждого утверждения необходимо доказывать, нельзя полагаться только на наблюдения. Положительный момент : благодаря зрительным искажениям существует живопись.

Вывод ы Параллельные прямые не пересекаются на плоскости ! Параллельные прямые часто встречаются в окружающем нас мире. В пространстве параллельность прямых исчезает – существует точка пересечения параллельных прямых !

Спасибо за просмотр!