Линейный гармонический осциллятор

Оператор Гамильтона для квантового осциллятора

Рассмотрим одномерный гармонический квантовый осциллятор, для которого Наша задача заключается в нахождении: 1. Энергии такой колебательной системы. 2. Собственных функций. 3. Плотности вероятности обнаружения колеблющейся частицы.

Запишем стационарное уравнение Шредингера

Уравнение Эрмита имеет особые точки. Исследуем поведение решения вблизи этих точек и для этого положим Функцию необходимо выбрать так, чтобы при больших значениях коэффициент в круглых скобках уравнения был регулярным или другими словами, чтобы первые три слагаемые в круглых скобках компенсировали неограниченный рост, то есть должно выполняться равенство

Для решения этого уравнения перейдем к новой переменной При больших значениях имеем Следовательно, решение уравнения Эрмита должно быть представлено в виде

Поскольку нас интересуют только конечные решения, то в итоге решение уравнения Эрмита следует представить следующим образом Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами и его решение следует искать в виде степенного ряда

Поскольку суммирование проводится от нуля до бесконечности, в первом слагаемом уравнения можно сдвинуть индекс суммирования на два значения с целью получения одинаковых степеней

Отсюда находим рекуррентное соотношение между коэффициентами Из рекуррентного соотношения следует, что ряд можно оборвать (то есть сделать какой-то последующий член нулевым) лишь при следующих значениях параметра : Число «n», определяющее номер квантового уровня энергии осциллятора, называют главным квантовым числом. С учетом определения параметра получим следующий энергетический спектр квантового осциллятора

Многочлен, носит название полинома Чебышева- Эрмита. Его обозначают и с учетом условия нормировки записывают в виде В результате собственные функции гармонического квантового осциллятора будут иметь вид

Чтобы осуществить переход от переменной к переменной необходимо воспользоваться условием нормировки откуда следует, что и, соответственно

В качестве примера запишем несколько собственных функций гармонического квантового осциллятора

Графики волновых функций

Зная волновые функции нетрудно записать соответствующие формулы для плотностей вероятностей обнаружения колеблющейся микрочастицы

Графики плотности вероятностей

Отметим следующие главные отличия гармонического квантового осциллятора от классического: 1. Квантовый осциллятор имеет дискретный энергетический спектр. 2. Минимальное значение энергии квантового осциллятора в отличие от классического не равна нулю:. 3. Классический осциллятор можно обнаружить только между точками поворота, а квантовый – и за их пределами.