Підготувала вчитель математики Смілянської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів 6 Смілянської міської ради Білоконь Л.М. 1

1.Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури. Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури.Поняття про перетворення фігур. Переміщення і його властивості. Рівні фігури. 2.Усні вправи. Усні вправи.Усні вправи. 3.Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямої. Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямої.Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямої. 4.Усні вправи. Усні вправи.Усні вправи. 5.Поворот. Поворот. 6.Паралельне перенесення. Паралельне перенесення.Паралельне перенесення. 7.Усні вправи. Усні вправи.Усні вправи. 8.Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур. Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур.Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур. 9.Гомотетія. Гомотетія. 10.Усні вправи. Усні вправи.Усні вправи. 11.Література Література Зміст 2

Поняття про перетворення фігур. Будь-яку геометричну фігуру можна розглядати як множину точок: наприклад, на площині коло є множиною всіх точок, рівновіддалених від даної точки. Крім того, між точками двох геометричних фігур можна встановити відповідність. Фігура F називається образом фігури F для даного перетворення. Перетворенням Перетворенням фігури F у фігуру F називається така відповідність, при якій: 1). Кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F; 2). Кожній точці фігури F відповідає деяка точка фігури F; 3). Різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F. 3

Переміщення та його властивості Властивості Два послідовні переміщення знову дають переміщення. Перетворення обернене до переміщення, також є переміщенням. Переміщенням (або рухом) називається перетворення Фігури, внаслідок якого зберігаються відстані між точками даної фігури. F F Y X Y' X 4

ТЕОРЕМА (основна властивість переміщення) ТЕОРЕМА (основна властивість переміщення) ТЕОРЕМА (основна властивість переміщення) ТЕОРЕМА (основна властивість переміщення) Унаслідок переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається. Доведення Нехай на прямій АС точка В лежить між точками А і С, а точки А, В і С – образи точок А, В і С, отримані в результаті переміщення (рис.). Доведемо, що точка В лежить на прямій АС між точками А і С. Якщо точка В лежить між точками А і С, то за аксіомою вимірювання відрізків АС=АВ+ВС. За означенням переміщення АС=АС, АВ=АВ, ВС=ВС, отже, АС=АВ+ВС. За наслідком нерівності трикутника це означає, що точка В лежить на прямій АС між точками А і С, тобто точки А, В і С лежать на одній прямій. Теорему доведено. 5

Наслідки: Унаслідок переміщення прямі переходять у прямі, промені –у промені, відрізки – у відрізки. Унаслідок переміщення зберігаються кути між променями. ТЕОРЕМА (про звязок переміщення і накладання) Будь-яке накладання є переміщенням, і навпаки: будь- яке переміщення є накладанням. Наслідок Рівні фігури переводяться одна в одну переміщенням, і навпаки: під час переміщення будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру. Дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються переміщенням. 6 Повернутись до змісту

Чи може переміщення переводити: А) сторону паралелограма в протилежну сторону? Б) одну з основ трапеції в іншу? В) один із кутів при основі рівнобедреного трикутника в інший? Г) один із кутів різностороннього трикутника в інший? Як ви думаєте? 7

1 Відрізок АС і його середина В внаслідок переміщення переходять У відрізок АC і точку B відповідно. Знайдіть довжину відрізка АС, якщо АВ=30см. 2 Під час переміщення чотирикутника АВСД отримали квадрат АВСД. Визначте довжину діагоналі ВД, якщо АС=4см. Розвяжіть задачі Повернутись до змісту 8

Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямої. Симетрія (від грецького симетріа) Симетрія (від грецького симетріа) – узгодженість розмірів, однаковість у розміщенні частин. Симетрію відносно точки також називають центральною симетрією. Точки Х і Х називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О – середина відрізка ХХ Точки Х і Хсиметричні відносно точки О 9

Симетрія відносно точки Перетворення симетрії відносно точки О називають таке перетворення фігури F у фігуру F, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х фігури F симетричну точці Х відносно точки О. При цьому фігури F i Fназивають симетричними відносно точки О. Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то така фігура називається центрально- симетричною, а точка О – центром симетрії фігури F. Фігури F і F симетричні відносно точки О 10

Доведення Нехай унаслідок центральної симетрії відносно точки О точки X і Y переходять у точки Х і Y відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис.) коли точки О, Х і Y не лежать на одній прямій. Трикутники ХОY і ХОY рівні за першою ознакою, отже, ХY=ХY. Таким чином, центральна симетрія зберігає відстань між точками, отже, є переміщенням. Теорема доведена. ТЕОРЕМА (основна властивість центральної симетрії) ТЕОРЕМА (основна властивість центральної симетрії) Центральна симетрія є переміщенням. 11

Симетрія відносно прямої або осьова симетрія Точки Х і Х називаються симетричними відносно прямої l, якщо Ця пряма перпендикулярна до відрізка ХХ і проходить через його середину. Перетворення симетрії відносно прямої l називають таке перетворення фігури F у фігуру F, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х фігури F симетричну Х відносно прямої l. При цьому фігури F і F називають симетричними відносно прямої l. Фігури F і F симетричні відносно прямої l 12

Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої l, а сама пряма l – віссю симетрії фігури F. Симетрія відносно прямої або осьова симетрія 13

Доведення Нехай унаслідок осьової симетрії відносно прямої l точки Х і У переходять у точки Х і У відповідно. Введемо систему координат так, щоб пряма l збіглася з віссю Oy (рис.). Тоді внаслідок симетрії відносно цієї прямої точки Х(х 1 ; у 1 ) і Y(х 2 ; у 2 ) перейдуть у точки Х(х 1 ; у 1 ) і Y(-х 2 ; у 2 ) відповідно. За формулою відстані між точками маємо:, отже, ХУ=ХУ Таким чином, осьова симетрія зберігає відстань між точками, тобто є переміщенням. Теорему доведено. ТЕОРЕМА (основна властивість осьової симетрії) ТЕОРЕМА (основна властивість осьової симетрії) Осьова симетрія є переміщенням. 14 Повернутись до змісту

1.Симетрія відносно точки О переводить точку А в точку В. Де розміщена точка О? 2.Які прямі під час центральної симетрії переходять самі в себе? 3.Скільки осей симетрії має відрізок; пряма? Для кожної з цих фігур опишіть взаємне розміщення осей симетрії. 4.Наведіть приклади фігури, яка: a)Не має ані центра, ані осей симетрії; b)Має центр симетрії, але не має осей симетрії; c)Не має центра симетрії. Але має вісь симетрії; d)Має центр симетрії і декілька( безліч) осей симетрії. Усні вправи 15

Картка 1 Завдання: Перенесіть фотографії в правильні частини таблиці. Зображення з однією віссю симетрії Зображення з декількома осями симетрії Зображення без осей симетрії. 16

Картка 2 Завдання: Перенесіть фотографії в правильні частини таблиці. Зображення з однією віссю симетрії Зображення з декількома осями симетрії Зображення без осей симетрії. Повернутись до змісту 17

Поворот Поворотом фігури F навколо точки О на кут α називається перетворення фігури F у фігуру F, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х фігури F так, що ОХ =ОХ і ХОХ= α. Поворот точки Х навколо точки О на кут α проти годинникової стрілки. Поворот фігури F навколо точки О на кут α за годинниковою стрілкою. Точку О називають центром повороту, а кут α - кутом повороту. Поворот є переміщенням. Повернутись до змісту 18

Паралельне перенесення Два промені називаються співнапрямленими ( або однаково напрямленими ), якщо виконується одна з двох умов: 1) Дані промені паралельні й лежать по один бік від прямої, що проходить через їх початкові точки; 2) Дані промені лежать на одній прямій, причому один із них є частиною іншого. Два промені називаються протилежно напрямленими, якщо один із них співнапрямлений з променем, доповняльним до іншого. Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя ОА на відстань а називаєть- ся перетворення фігури F y фігуру F, унаслі- док якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х фігури F так, що промені ХХ і ОА співнапрямлені і ХХ = а 19

Доведення Нехай унаслідок паралельного перенесення в напрямі променя ОА на відстань а точки X I Y переходять у точки X i Y відповідно. Розглянемо загальний випадок (рис.), коли відрізок XY не паралельний променю ОА і лежить на ньому. За означенням паралельного перенесення XX||YY, XX=YY= a. Таким чином, чотирикутник XXYY, дві сторони якого паралельні й рівні, - паралелограм, звідки XY=XY. Отже, паралельне перенесення зберігає відстань між точками, тобто є переміщенням. Теорему доведено. Теорема (основна властивість паралельного перенесення) Теорема (основна властивість паралельного перенесення) Паралельне перенесення є переміщенням X Y X Y OaA 20 Повернутись до змісту

Чи існує поворот, унаслідок якого Чи існує поворот, унаслідок якого: 1.Сторона прямокутника, що не є квадратом, переходить у сусідню сторону; 2. Одна діагональ прямокутника переходить в іншу; 3. Один із внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший; 4. Один із відповідних кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший? А чи знаєте ви? 21

Чи існує паралельне перенесення внаслідок якого: 1.Одна сторона прямокутника переходить в іншу; 2.Одна діагональ прямокутника переходить в іншу; 3.Один із внутрішніх кутів різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший? 4.Один із відповідних кутів при паралельних прямих і січній переходить в інший? А чи знаєте ви? 22

1.Промені СD I EF співнапрямлені; 2.Промені СD I EF протилежно напрямлені? Промені АВ і СД співнапрямлені. Чи співнапрямлені промені АВ і EF, якщо: 23

Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці О. Визначте образ точки А при паралельному перенесенні, внаслідок якого: 1.Точка D переходить у точку С; 2.Точка О переходить у точку С. Розвяжіть задачу В А О D С Повернутись до змісту 24

Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F, унаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k > 0) переміщення є окремим випадком подібності при k=1 Число k > 0 називають коефіцієнтом подібності. Очевидно, що при k=1 маємо XY=XY, тобто відстані між точками фігур зберігаються. Це означає, що переміщення є окремим випадком подібності при k=1 Перетворення подібності переводить фігуру F у фігуру F. 25

Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки. Перетворення подібності зберігає кути між променями. Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: якщо F F з коефіцієнтом k, то Повернутись до змісту 26

Гомотетія Гомотетією Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х фігури F так, що точка Х лежить на промені ОХ і ОХ=kOX. Число k називають коефіцієнтом гомотетії, а самі фігури F i F – гомотетичними. Гомотетія з центром О 27

Доведення Розглянемо випадок, коли точки О, Х і У не лежать на одній прямій. Нехай унаслідок гомотетії з центром О точки О і У переходять у точки Х і У відповідно (рис.). За означенням гомотетії ОХО = kОХ, ОУ = kОУ. Отже, трикутники ОХУ і ОХУ подібні за двома сторонами й кутом між ними. Звідси випливає, що ХУ = kХУ, тобто гомотетія є перетворенням подібності. Що й треба було довести. ТЕОРЕМА (основна властивість гомотетії) ТЕОРЕМА (основна властивість гомотетії) Гомотетія є перетворення подібності 28 Повернутись до змісту

a.Будь-які дві гомотетичні фігури подібні? b.Будь-які дві подібні фігури гомотетичні? c.Чи можна вважати рівні фігури подібними? А навпаки? Чи правильно, що: 29

a)Паралелограм із кутом 40˚ і паралелограм із кутом 145˚; b)Ромб із кутом 120˚ і ромб з діагоналлю, що дорівнює стороні; c)Будь-які два квадрати? Чи подібні: 30

Площі двох подібних чотирикутників дорівнюють 2см² і 18см². Чому дорівнює коефіцієнт подібності? Повернутись до змісту 31

Література. А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов.-Геометрія. 9 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл.-4-те вид.-Х.: Вид-во «Ранок», с. 2. Апостолова Г.В. Геометрія. 9 клас.-К.:Генеза, с. 3. Чекова А.М. Геометрія. 7-12класи: Навч. посіб.- 5-те вид.- Х.: Країна мрій, с. 4. Березіна Л.Ю., Мельникова Н.Б., Міщенко Т.М. Геометрія в 7-9 класах:Посібник для вчителя.-М.: Просвещение, с. 5. Л.С.Карнацевич, С.П. Ільченко, С.П. Бабенко. -Геометрія. 9 клас.-Плани-конспекти уроків.-2-ге вид.- Х.: Вид-во «Ранок», с. 6. О.О. Старова.- Геометрія. 9 клас.-Серія «Мій конспект»-Х.: Вид.група «Основа», с. 32