Определение. Функцию y=f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y 1, y 2, …, y n, … или (у n ) Величина у n называется общим членом последовательности. (у n ) – последовательность у 1 ; у 2 ; у 3 ;…. у n - члены последовательности Первый n-ый у 1 ; у 2 ; у 3 ;…. у n - члены последовательности Первый n-ый член послед. член послед. 1. Последовательность 1. Последовательность Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, …

1. Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. 1. Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность простых чисел: 5,7,11,13,17,19,23,29,31,…. Пример 2. Произвольный набор чисел: 1,4,12,25,26,33,39,….

2. Аналитический способ. Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n. Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n². Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, С, С,…,С,… Пример 4. Последовательность у = 2 2, 2²,2³,…,2,…

3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. 3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Арифметическая прогрессия а n+1 = а n +d, d - разность арифметической прогрессии. Пример 2. Геометрическая прогрессия b n+1 = b n q, q – знаменатель геометрической прогрессии.

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6… Продолжите ряд 77, 49, 36, 18… Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Леонардо Фибоначчи - итальянский математик. (родился около 1170 умер после 1228), Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

Определение. Последовательность (у n ), называют ограниченной сверху, если все ее элементы не больше некоторого числа М такого, что для любого n выполняется неравенство у n М. Число М называют верхней границей последовательности. Например: …- n²,-16, -9, -4, -1 Верхняя граница равна -1, т.е. M= -1

Определение. Последовательность (у n ), называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа m такого, что для любого n выполняется неравенство у n m. Число m называют верхней границей последовательности. Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,… Нижняя граница равна -1, т.е. m=1

Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

Члены последовательности (у n ) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (у n ) сходится. У последовательности (у n ) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (у n ) расходится.

П ОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Рассмотрим числовую последовательность (у n ), общий элемент которой приближается к некоторому числу а при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. С геометрической точки зрения у точки а есть некоторая окрестность:

Определение. Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Читают: предел последовательности (у n ) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (у n ) равен b.

Ф ОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Если q< 1, то Если q> 1, то последовательность у n = q n расходится Если m N, k R, то

Свойства сходящихся последовательностей. Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. ( теорема Вейерштрасса).

С ВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ Если,, то 3. Предел частного равен частному пределов: 2. Предел произведения равен произведению пределов: 1. Предел суммы равен сумме пределов: 4. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

П РЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x). х у y = f(x) 0 у = b Функция f(x) стремится к пределу b при x, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) b| < ε.

П РЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Функция y = f(x) стремится к пределу b при x a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x a| < δ, имеет место неравенство |f(x) b| < ε. х y = f(x) 0 b у а

Н ЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие