Элементы комбинаторики. Перестановки. Перестановки.

Цель: Рассмотреть некоторые задачи комбинаторики.

Таблица факториалов: n n! Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n! Пример:

Найдите значение выражения

Делится ли число на:

Определение. Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: P n = n! Число перестановок из n элементов обозначают Читают «P из n». Перестановкой Перестановкой из n элементов называется каждое расположение (без повторений) этих элементов в определенном порядке.

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение: P 8 = 8! = Ответ:

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные? Решение: Р 4 – Р 3 = 4! – 3! = 18. Ответ: 18. Решение (II способ) 3·3·2·1=18. Будем рассуждать так Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так. тремя Первую цифру можно выбрать тремя способами.(0 не может стоять на первом месте) После выбора первой цифры останутся три. тремя Вторую цифру можно выбрать тремя способами. двумя Третью цифру можно выбрать двумя способами. одну Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых четырехзначных чисел равно произведению

Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке? Решение: Ответ:

Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек? Ответ: 1)6 способов; 2)120 способов.

Сколько различных правильных (с точки зрения русского языка) фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении: 1)«Я пошла гулять»; 2)«Во дворе гуляет кошка»? Ответ: 1)6 способов; 2)6 способов.

Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника? Ответ: 24 способа.

Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него переста­новкой множителей? Ответ: 119 выражений.

Ответ: 6 вариантов. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивает­ся цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется пере­брать, чтобы дозвониться подруге.

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций: а) Олег находится в конце ряда; б) Олег находится в начале ряда, а Игорь в конце; в) Олег и Игорь стоят рядом; а) (Олег находится в конце ряда – фиксируем). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Ответ: 720; 120;1440. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций: а) Олег находится в конце ряда; б) Олег находится в начале ряда, а Игорь в конце; в) Олег и Игорь стоят рядом; в) Пусть Олег и Игорь стоят рядом. Возможны два варианта их расположения в паре (Олег – Игорь, Игорь – Олег). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Замечание: Такой прием называется «склеиванием» элементов.

Ответ: 720 чисел; 600 чисел. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1,2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.

А теперь, девчата, встали. Быстро руки вверх подняли, В стороны, вперед, назад. Физкультминутка. Повернулись вправо, влево, Тихо сели, вновь за дело. Один, два, три, четыре, пять, Все умеем мы считать. Отдыхать умеем тоже: Руки за спину положим, Голову поднимем выше И легко – легко подышим.

У Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на шести стульях? 2. У Вовы на обед первое, второе, третье блюда и салат. Он обязательно начнет с салата, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда. 3. Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов. 1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг дачного домика 8 различных деревьев в восемь подготовленных ям? 2. Маше необходимо сшить пяти куклам 5 платьев. Любимой кукле Алине в первую очередь, а остальным в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов пошива кукольной одежды. 3. В ларьке продается 5 видов мороженого в брикетах. Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

1)Что изучает комбинаторика? 2)Кем был введен в математический обиход термин «комбинаторика»? 3)Какие способы решения комбинаторных задач рассмотрели на уроке? 4)Что означает запись n!? 5)Найдите значение выражения 6)Что называется перестановкой из n элементов?

Учиться –все равно, что грести против течения ׃ только перестанешь и тебя гонит назад. Выучить: п.31. Разобрать примеры 1, 2, 3. Выполнить: Выполнить: 732, 733, 734, 738(а), 747, 749.

1. Сегодня на уроке я запомнила…………….. 2. Я научилась…………………………………… 3. Я поняла…………………………………… У меня не получилось……………………… 5. Мне бы хотелось……………………………. 6. Я справлюсь с домашней работой………...