Работу выполнили Ученицы 8 – «Б» класса Низамова Алсу Калимуллина Зиля

Так например, нам уже встречались кусочные функции, т. е. функции, заданные разными формулами на разных промежутках. Вот одна из таких функций: у = f(x), где Помните, как строить графики таких функций? Сначала надо построить параболу у = х 2 и взять ее часть при х 0 (рис. 2). И, наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т. е. построить на одной координатной плоскости (см. рис. 3).

Рассмотрим две функции: у = 2 х 2 и у = 0,5x2. Составим таблицу значений для первой функции у = 2 х 2: Построим точки (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) на координатной плоскости (рис. 4); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 5). Составим таблицу значений для второй функции у = 0,5x2: Построим точки (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4,5), (-3; 4,5) на координатной плоскости (рис. 6); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 7)

Вернемся к функции у = kx2. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента ft. Построим, например, график функции у = - х 2 (здесь k = - 1). Составим таблицу значении: Отметим точки (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) на координатной плоскости (рис. 10); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 11). Это парабола с вершиной в точке (0; 0), ось у ось симметрии, но в отличие от случая, когда k > 0, на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента k.

Свойства функции у = kx2 при k > 0 Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель параболу (рис. 13). 1. Так как для любого значения х по формуле у = kx2 можно вычислить соответствующее значение у, то функция определена в любой точке х (при любом значении аргумента х). Короче это записывают так: область определения функции есть (-оо, +оо), т. е. вся координатная прямая. 2. у = 0 при х = 0; у > О при. Это видно и по графику функции (он весь расположен выше оси х), но можно обосновать и без помощи графика: если то kx2 > О как произведение двух положительных чисел k и х у = kx2 непрерывная функция. Напомним, что этот термин мы рассматриваем пока как синоним предложения «график функции есть сплошная линия, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги». В старших классах будет дано более точное математическое истолкование понятия непрерывности функции, не опирающееся на геометрическую иллюстрацию. 4.y/наим = 0 (достигается при х = 0); унаи 6 не существует. Напомним, что {/наим это наименьшее значение функции, а Унаиб. наибольшее значение функции на заданном промежутке; если промежуток не указан, то унаим- и унаби, соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области определения. 5. Функция у = kx2 возрастает при х > О и убывает при х < Функция у = kx2 (k > 0) ограничена снизу и не ограничена сверху.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 2 х 2 на отрезке: а) [0, 2]; б) [- 2, - 1]; в) [- 1, 1,5]. Решение. а) Построим график функции у = 2 х 2 и выделим его часть на отрезке [0, 2] (рис. 15). Замечаем, что 1/наим. = 0 (достигается при х = 0), а унаби = 8 (достигается при х = 2). б) Построим график функции у = 2 х 2 и выделим его часть на отрезке [- 2, - 1] (рис. 16). Замечаем, что 2/наим = 2 (достигается при х = - 1), а yнаиб = 8 (достигается при х = - 2). в) Построим график функции у = 2 х 2 и выделим его часть на отрезке [- 1, 1,5] (рис. 17). Замечаем, что унанм = 0 (достигается при х = 0), а yнаиб достигается в точке х = 1,5; подсчитаем это значение:(1,5) = 2-1,52 = 2- 2,25 = 4,5. Итак, yнаиб =4,5.

Пример 2 Решить уравнение - х 2 = 2 х - 3. Решение Чтобы графически решить уравнение f(x) = g (x), нужно: 1) рассмотреть две функции у = -x2 и у = 2x -3; 2) построить график функции i/ = / (х) ; 3) построить график функции у = g (x); 4) найти точки пересечения построенных графиков; абсциссы этих точек корни уравнения f(x) = g (x). Применим этот алгоритм к заданному уравнению. 1) Рассмотрим две функции: у = - х 2 и у = 2 х ) Построим параболу график функции у = - х 2 (рис. 18). 3) Построим график функции у = 2 х - 3. Это прямая, для ее построения достаточно найти любые две точки графика. Если х = 0, то у = - 3; если х = 1,то у = -1. Итак, нашли две точки (0; - 3) и (1; -1). Прямая, проходящая через эти две точки (график функции у = 2 х - 3), изображена на том же чертеже (см. рис. 18). 4) По чертежу находим, что прямая и парабола пересекаются в двух точках А(1; -1) и Б(-3; -9). Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и - 3 это абсциссы точек А и В. Ответ: 1,-3.