Статистическая гипотеза. Нулевая гипотеза Кошкарова М.

Статистические гипотезы и их проверка t-критерий Стьюдента (t-распределение) Оценка разности между долями F-критерий Фишера (F-распределение)

В экспериментальных и клинических исследованиях часто возникает необходимость определить сравнительные оценки генеральных параметров по разности, наблюдаемой между сравниваемыми выборками. Решение этого вопроса представляет исключительное значение, так как позволяет выявить характерные признаки патологического процесса, следить за динамикой развития заболевания, оценить эффективность лечебных мероприятий и т.д. О преимуществе той или иной из сравниваемых групп судят обычно по разности между средними долями и другими выборочными показателями.

Вопрос о достоверности выборочной разности с ее ошибкой приходится решать исходя из той или иной гипотезы. В области медицины и биологии широкое применение получила так называемая нулевая гипотеза ( Н 0 ). В этой гипотезе предполагается, что разница между генеральными параметрами сравниваемых групп равна нулю. Так если одна выборка извлечена из нормально распределяющейся совокупности с параметрами M1 и m1, а другая - из совокупности c параметрами M2 и m2, то нулевая гипотеза исходит из того, что M1=M2 и m1=m2, т.е. M1-M2=0 и m1-m2=0 (по этому гипотеза называется нулевой).

Для проверки принятой гипотезы, используют величины, функции распределения которых известны. Эти величины, называемые критериями достоверности, позволяют в каждом случае выявить, удовлетворяют ли выборочные показатели принятой гипотезе. Функции распределения указанных величин сведены в специальные таблицы.

Уровень значимости, или вероятность ошибки, допускаемой при оценке принятой гипотезы, может различаться. Обычно при проверке статистических гипотез принимают три уровня значимости: 5%-ный (вероятность ошибочной оценки P=0,05 ), 1%-ный ( P=0,01 ) и 0,1%-ный ( P=0,001 ). В медико-биологических исследованиях часто считают достаточным 5%-ный уровень значимости. Если P>0,05 (5%) то нулевую гипотезу не опровергают. Если же P<0,05, то принятую гипотезу следует отвергнуть.

В биологии и медицине применяют два вида статистических критериев: параметрические, построенные на основании параметров данной совокупности (например, М и 2) и представляющие функции этих параметров, и непараметрические, представляющие функции, зависящие непосредственно от вариант данной совокупности с их частотами. Первые служат для проверки гипотез о пара- метрах совокупностей, распределенных по нормальному закону, вторые – для проверки рабочих гипотез независимо от формы распределения совокупностей, из которых взяты сравниваемые выборки. Применение параметрических критериев связано с необходимостью вычисления выборочных характеристик – средней величины и показателей вариации, тогда как при использовании непараметрических критериев такая необходимость отпадает.

При нормальном распределении признака параметрические критерии обладают большей мощностью, чем непараметрические критерии. Они способны, более безошибочно отвергать нулевую гипотезу, если она не верна. Поэтому во всех случаях, когда сравниваемые выборки взяты из нормально расопределяющихся совокупностей, следует отдавать предпочтение параметрическим критериям. В случае очень больших отличий распределений признака от нормального вида следует применять непараметрические критерии, которые в этой ситуации оказываются часто более мощными. В ситуациях, когда варьирующие признаки выражаются не числами, а условными знаками, применение непараметрических критериев оказывается единственно возможным.

Из параметрических критериев в биологии и медицине применяют t-критерий Стьюдента и F- критерий Фишера. Первый используется для сравнительной оценки средних величин, второй – для оценки дисперсии.

t-критерий Стьюдента (t-распределение)

В экспериментальных и клинических исследованиях часто бывает необходимо сравнение средних арифметических величин, двух показателей между собой, например, при сравнении результатов в контрольной и экспериментальной группах, сравнении показателей здоровья населения в различных местностях, за различные годы и т.д. Применяемый метод оценки достоверности разности показателей (средних величин) позволяет установить, выявленные различия существенны или они являются результатом действия случайных причин.

В основе метода лежит определение критерия достоверности t -критерия Стьюдента. Закон распределения параметра t был опубликован в заметке, подписанной псевдонимом "Стьюдент" и сохранил это наименование (автор английский студент В. Госсет - в дальнейшем ставший известным математиком).

Величина t -критерия определяется отношением разности показателей (средних величин) к своей ошибке разности. H0 - гипотезу отвергают, если фактически установленная величина t -критерия ( tф ) превзойдет или окажется равной критическому (стандартному tс ) значению этой величины для принятого уровня значимости и числа степеней свободы k=n1+n2-2, т.е. при условии tф tс. Для практического использования t -распре- деления составлена специальная таблица, в которой содержатся критические точки tс (от англ. standart - норма, образец) для разных уровней значимости и чисел степеней свободы k.

Критерий достоверности t указывает, во сколько раз разность превышает свою ошибку. При различных значениях t существует определенная мера надежности, с которой можно говорить о существенности различий.

Следует заметить, что вышеизложенное применение t -критерия предполагает, что дисперсии сравниваемых групп одинаковы. Если это не так, то величину критерия находят по формуле: а число степеней свободы – по следующим формулам:

F-критерий Фишера (F-распределение)

Для проверки H0 - гипотезы о равенстве генеральных дисперсий ( 1 2 = 2 2 ) нормально рас- определяющихся генеральных совокупностей t - критерий оказывается недостаточно точным, особенно при оценке разности дисперсий малочисленных выборок. Р. Фишер нашел, что вместо выборочной разности 1- 2 удобнее использовать разность между натуральными логарифмами этих величин, т.е. ln 1-ln 2 где 1 2.

При определении этой разности можно вместо натуральных использовать десятичные логарифмы т.к. Д. Снедекор предложил вместо логарифма отношений использовать отношения выборочных дисперсией, обозначив этот показатель в честь Фишера буквой F, т.е. при

Т. к. принято брать отношение большей дисперсии к меньшей, то критерий F 1. Критические точки ( Fc ) для F-критерия приведены в Приложении 2. В этой таблице степени свободы для большей дисперсии K1 расположены по горизонтали, а степени свободы для меньшей дисперсии K2 - по вертикали. Если Fф>Fс нулевая гипотеза опровергается ( P<0,05 ), если Fф<Fс то нулевая гипотеза остается в силе.