Теорема Ферма. Выполнили ученики МБОУ Гимназия 3 9 «Д» класса Моисеенкова Елена и Залилов Аскар. ; Уфа 2016

Формулировка теоремы Теорема утверждает, что: для любого натурального числа n > 2 уравнение не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c. Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера Паркина Селфриджа.. a + b = c

Автор теоремы Автор теоремы Пьер де Ферма (1601–1665) внес немалый вклад в развитие довольно разных областей математики, но большую часть научного наследия опубликовали только после его смерти. На полях древнегреческой «Арифметики» Диофанта, уже после смерти Ферма потомки нашли формулировку великой теоремы, а также приписку к ней, где математик отметил, что нашел ей «поистине чудесное доказательство», добавив, что «поля для него весьма узки».

Вклад в доказательство Несколько позже Ферма опубликовал доказательство частного случая для n=4, кроме этого, Ферма включил третью степень теоремы в список задач, решаемых методом бесконечного спуска. Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением иррегулярных (*)(*) простых 37, 59, 67.

Регулярные и иррегулярные числа (*) Регулярное простое число в теории чисел, нечётное простое число р, для которого число классов дивизоров кругового поля не делится на р. Все остальные простые нечетные числа называются иррегулярными. Регулярные числа это в точности куммеровы простые числа, однако доказывается это довольно сложно. Для проверки числа на куммеровость может быть использован так называемый критерий Куммера: p куммерово тогда и только тогда, когда числители всех чисел Бернулли B 2,B 4, …, B p-3 не делятся на p. Формула для чисел Бернулли:

Вклад в доказательство «Уважаемый __________________________! В Вашем доказательстве теоремы Ферма на ___ странице в ___ строчке сверху, в формуле:___________________ обнаружена следующая ошибка: ….» В начале XX века (1907) состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч немецких марок (*) тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма. Начался ажиотаж. Математические кафедры были завалены тысячами доказательств, но все они, как вы догадываетесь, содержали в себе ошибки. Говорят, что в некоторых университетах Германии, в которые в большом количестве поступали "доказательства" теоремы Ферма, были заготовлены бланки примерно такого содержания:(*) которые рассылались соискателям премии.

Немецкая марка (*) Немецкая марка денежная единица Федеративной Республики Германия, вышедшая из обращения после перехода на евро в 2002 году. Название происходит от одноимённой единицы измерения массы. Курс немецкой марки к доллару достиг своего исторического пика 19 апреля 1995 г., когда один доллар США стоил 1,3620 марки (в пересчёте 1 = 1,4360 $). Самый низкий курс немецкой марки к доллару пришёлся на период с 3 по 9 апреля 1956 г., когда один доллар стоил 4,2161 марок (в пересчёте 1 = 0,4639 $).

Гипотеза Таниямы В 1955 году 28-летний японский математик Ютака Танияма выдвинул утверждение из совершенно другой области математики, получившее название «Гипотезы Таниямы»(*).(*) Гипотеза Таниямы гласит: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". После появления формулировки гипотезы математики проигнорировали ее. Лет десять про гипотезу Таниямы почти не вспоминали. Но в начале 70-х годов она стала популярной - ее регулярно проверяли все, кто смог в ней разобраться - и она всегда подтверждалась (как, собственно, Ютка Танияма и теорема Ферма), но, как и прежде, никто не мог ее доказать.

Теорема Таниямы-Симуры- Вейля (*) Если p-простое число, а E -эллиптическая кривая над Q (полем рациональных чисел), то можно упростить уравнение, определив E по модулю p ; для любого конечного множества значений p можно получить эллиптическую кривую над конечным полем F p из n p элементов. Введем последовательность a p = n p - p, являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой E. Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуля ром.

Связь двух гипотез В 1984 году немец Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, похожее на теорему: "Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма". Другими словами, теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. И вот буквально через полтора года (1986) профессор калифорнийского университета Кеннет Рибет четко доказал теорему Фрея. Gerhard Michael Frey

Связь двух гипотез Оказалось, что, так как теорема Ферма уже точно является следствием гипотезы Таниямы, нужно всего-навсего доказать последнюю, чтобы сорвать лавры покорителя легендарной теоремы Ферма. Но гипотеза оказалась непростой. К тому же у математиков за столетия появилась аллергия на теорему Ферма, и многие из них решили, что справиться с гипотезой Kenneth Alan "Ken" Ribet Таниямы также будет практически невозможно.

Становление теоремой 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже Эндрю Уайлс объявил о возможном доказательстве Великой теоремы. Презентация доказательства, казалось, прошла успешно, ошибок в нем не нашли. Но примерно через два месяца, за несколько дней до того, как рукопись доказательства Уайлса должна была пойти в тираж, в ней было обнаружено несоответствие. Andrew John Wiles

Становление теоремой Ник Кац, коллега Уайлса, заметил, что один фрагмент рассуждений опирался на «систему Эйлера»(*),(*) но то, что соорудил Уайлс, такой системой не являлось, хотя в целом приемы Уайлса были признаны интересными, изящными и новаторскими. Через год с небольшим, в сентябре 1994 года, во время размышления над тем узким местом доказательства вместе со своим коллегой Тейлором из Оксфорда, последнего неожиданно осенила мысль, что «систему Эйлера»(*) можно поменять на теорию Ивасава.(*)(*) Richard Taylor

Разложение Ивасовы

Система Эйлера Неполное доказательство Эйлера великой теоремы Ферма, для n=3.

Теорема доказана Таким образом, в конце ХХ века весь мир признал, что на 360 году своей жизни Великая теорема Ферма, которая на самом деле всё это время являлась гипотезой, стала-таки доказанной теоремой. Эндрю Уайлс доказал Великую (Большую) теорему Ферма и вошел в Историю.

Источники информации: html

Спасибо за внимание!