Треугольники Четырёхугольники Площади фигур

Признаки равенства треугольников Признаки равенства прямоугольных треугольников Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника Теорема Пифагора Теорема Фалеса Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Теоремы синусов и косинусов Свойства медиан треугольника Свойства биссектрис треугольника Свойства высот треугольника Признаки подобия треугольников Признаки подобия прямоугольных треугольников

Параллелограмм. Свойства параллелограмма Прямоугольник. Ромб. Квадрат Трапеция Свойства трапеции Вписанные и описанные четырехугольники

Площадь квадрата, параллелограмма, ромба Определение площади Площадь треугольника Площадь трапеции Площадь описанного многоугольника Площадь произвольного четырехугольника Площадь круга и его частей Длина окружности и дуги окружности

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. АВ СD, BC AD, ABCD – параллелограмм. Свойства параллелограмма: 1. Противолежащие стороны параллелограмма равны: АВ = СD, ВС = АD 2. Противолежащие углы параллелограмма равны: 3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD 2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: если AB = CD = a, ВС = AD = b, AC = d 1, BD = d 2, то d d 2 2 = 2(a 2 + b 2 ) А В С D А В С DА В С DА В С D a b d1d1 d2d2 O

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые. Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые. Свойства: 1. Диагонали прямоугольника равны: AC = BD 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом: 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: 4. Диагонали квадрата: 1)равны; 2)пересекаются под прямым углом; 3)являются биссектрисами его углов. Для прямоугольника, ромба и квадрата справедливы все свойства параллелограмма. АD СВ А А В ВС С D D

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны. Основания трапеции – её параллельные стороны. Боковые стороны – непараллельные противолежащие стороны трапеции. А СВ D Боковые стороны Основания Равнобокая трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Высота трапеции – отрезок перпендикуляра от любой точки одного основания трапеции до её другого основания (или его продолжения). АН, ВЕ, FG – высоты. Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Равнобокая трапеция Прямоугольная трапеция АD HBFC EG А BC D MN

АD MN BC 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме : 2. Пусть ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, Е – точка пересечения ее диагоналей. Тогда 3. У равнобокой трапеции углы при основании равны: Площадь трапеции: а, b – основания; h – высота; с – средняя линия; d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями. BC Е АD BC а b c h d1d1 d2d2

1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°: 2.(Теорема Птолемея). Если четырехугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений его противолежащих сторон: 3. Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны: α a D C B A c b d

1. Сумма внутренних углов выпуклого п-угольника равна : 2. Сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°: 3. В выпуклом п-угольнике из каждой вершины можно провести (п – 3) диагоналей, которые разбивают п-угольник на (п – 2) треугольников. 4. Выпуклый п-угольник имеет диагоналей. A1A1 A2A2 AnAn α1α1 α2α2 α3α3 A1A1 A2A2 A3A3 A3A3

Площадь (S) – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура разбивается на части, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей; 3)площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. 1 ед.

1.Квадрат: а – сторона; d – диагональ. 2.Прямоугольник: а, b – стороны; d – диагональ; - угол между диагоналями. 3.Параллелограмм: а, b – стороны; α- угол между сторонами; h a, h b – высоты, проведенные к сторонам a и b соответственно; d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями. 4.Ромб: а – сторона; α – угол ромба; h – высота; d 1, d 2 – диагонали. a d a b d φ a b haha hbhb α d1d1 d2d2 φ

Треугольник: a, b, c – стороны; А, В, С – противолежащие им углы; h a, h b, h c – высоты к сторонам a, b, c соответственно; r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей; - полупериметр. - формула Герона; - для правильного треугольника. hchc a b c A B C

Площадь трапеции: а, b – основания; h – высота; с – средняя линия; d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями. Описанный многоугольник: а b c h d1d1 d2d2 р – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Произвольный четырехугольник: d 1, d 2 – диагонали; - угол между диагоналями.

Отношение длины окружности (С) к ее диаметру (D = 2R) является числом постоянным для всех окружностей; обозначается π («пи»): π = 3, … - иррациональное число. 1. Длина окружности: 2. Длина дуги окружности, содержащей α° или а радиан: R O

1.Круг: R – радиус; D – диаметр; C – длина дуги окружности Круговой сектор – часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. R – радиус круга; α° или а радиан – соответствующий центральный угол; l – длина дуги сектора. R О сектор α°

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Теорема косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: А В С b c a А В С b c a

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре тяжести треугольника и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины угла: AO = 2OE, BO = 2OF, CO = 2 OD. 2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: 3. Если О – точка пересечения медиан, то 4. Медиана на сторону а вычисляется по формулам: А С В D А В С О А В С b a c mama А В С D F E O

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности. 2. Если СD – биссектриса угла С АВС, то 3. Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении, считая от вершины. 4. Биссектриса угла С вычисляется по формулам: Аналогичные свойства и формулы справедливы для биссектрис углов А и В треугольника АВС. A B C D A C B D O a b c A C B lclc b a c m n

1. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника. 2. Если AD, BE, CF – высоты треугольника АВС, О – точка пересечения этих высот или их продолжений, то 3.Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику: 4. Высота на сторону с вычисляется по формулам: где S - площадь АВС. A C B hchc b a c A B C O E F D D A C B

I. По двум сторонам и углу между ними. C C 1 A B A 1 B 1 II. По стороне и прилежащим к ней углам. C C 1 A B A 1 B 1 III.По трем сторонам. C C 1 A B A 1 B 1

I. По двум катетам. B B 1 A C A 1 C 1 II. По гипотенузе и острому углу. B B 1 A C A 1 C 1 III. По гипотенузе и катету. B B 1 A C A 1 C 1

Косинус, синус, тангенс угла завися только от градусной меры угла и не завися от расположения и размеров треугольника. А С a В b c

А С a В b c В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Египетский треугольник – прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. Пифагоровы треугольники – прямоугольные треугольники, длины сторон которых – целые числа (например: 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25)

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла: Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках): Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки: В1В1 В2В2 В3В3 В4В4 А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 В1В1 В2В2 В3В3 В4В4 А1А1 А2А2 А3А3 А4А4

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов: Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: Высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов: А В С D b a c bcbc acac h

I. По двум углам. Если, то II. По двум сторонам и углу между ними. Если, то III. По трем сторонам. Если, то

I. По острому углу. Если, то В II. По катетам. А С Если, то В 1 III. По гипотенузе и катету. А 1 В 1 Если, то