Начнем с того, в чем суть метода Фурье. Метод разделения переменных использовался еще в XVIII B. Л. Эйлером, Д. Бернулли и Ж. Лагранжем для решения задачи о колебании струны. В начале ХIХ в. этот метод был детально разработан Ж. Фурье и применен им к задаче о распределении тепла. Впоследствии метод разделения переменных получил название метод Фурье. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. Одним из наиболее эффективных методов решения многомерных краевых задач является метод Фурье (разделения переменных). Этот метод может быть применен к краевым задачам на собственные значения 1. Общая схема метода Фурье. Разобьем независимые переменные на две группы: x = (x 1, x 2,..., x n ) и y =( y 1, y 2,..., y n ), и пусть G R n – область изменения x и D R m – область изменения y. Обозначим через S и Г границы областей G и D соответственно. Тогда (S × D) (G × Г) есть граница области G × D R n+m.

B области G × D рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения для уравнения эллиптического типа: где L и М – эллиптические операторы, не зависящие от y и x соответственно; функции α, β не зависят от y и функции, не зависят от x. Будем искать собственные функции задачи (1) – (2) в виде произведения Х (x) Y(y), Подставляя это выражение в уравнение (1), получаем откуда u (x, y) = Х (x) Y(y). (1) (2) (3) (5) (4)

Левая часть равенства (5) не зависит от у, а правая – от x. Следовательно, эти выражения не зависят ни от x, ни от у, т. е. равны постоянной. Обозначая эту постоянную через m и полагая = из (5) получаем два уравнения: Таким образом, уравнение (1) расщепилось на два уравнения (6) и (7), или, как говорят, переменные разделились; при этом дополнительно появился неизвестный параметр. Для вывода граничных условий для функций X (x) и Y (y) подставим произведение X (x) Y(y) в граничные условия (2). Β результате, после сокращений, получим LX = X MY = Y. (6) (7) (8) (9)

Итак, краевая задача на собственные значения (1) (2) распалась на две краевые задачи на собственные значения (6) (8) и (7) (9) с меньшим числом независимых переменных. Обозначим через k, X k (x), k = 1, 2,..., и j, Y j ( y ), j = 1, 2,..., все собственные значения и собственные функции операторов L и М соответственно. В силу (З) суть собственные значения и собственные функции исходной краевой задачи (1) (2). Замечание. Пусть ортонормальные системы собственных функций { X k } и { Y j } полны в и ортонормальна и полна в. ] система собственных функций { X k Y j } ортонормальна и полна в. B этом случае формулы (10) дают все собственные значения и собственные функции краевой задачи (1) (2). соответственно. Тогда по [ Пусть области G R n и D R m ограничены, функций j (y), j = 1, 2,..., ортонормальна и полна в и при каждом j = 1, 2,... система функций kj (x), k = 1, 2,..., ортонормальна и полна в. лемме (10) (11)

Пример: Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для трёхмерного шара U R : Эту задачу удобно решать сферических координатах ( r,, ), 0 r < R, 0 < 2. В этих координатах задача (12) для функции ( r,, ) = u ( r sin cos, r sin sin, r cos ) принимает вид B соответствии c общей схемой метода Фурье собственные функции задачи (13) (14) ищем в виде произведения. Разделяя переменные для функций Y и получим краевые задачи При = l(l + 1), l = 0, 1,... задача (15) имеет решения и этими решениями являются сферические функции Y l m, m = 0, ±1,..., ±l. При = l(l + 1) уравнение (16) для функции превращается в уравнение Бесселя (12) (13) (14) (15) (16) (17)

Поэтому ограниченным в нуле решением уравнения (16) является функция Чтобы удовлетворить граничному условию, необходимо положить в (18), где положительные корни функции Бесселя. Итак, собственные значения и собственные функции краевой задачи (12). Выбирая нормирующие множители c ljm такими, что (см. формулы (21) и (22)) (18) (19) (20)

и учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя в ; r ] и сферических функций в, B силу заключаем, что система собственных функций (30) ортонормальна и полна в, поэтому других собственных значений и собственных функций задача (24) не имеет. Аналогичным образом рассматривается и краевая задача леммы (21) (22) (23)

Уравнением Гельмгольца называется уравнение u + k 2 u = f (x) При k = 0 оно превращается в уравнение Пуассона. Теория уравнения Гельмгольца близка к теории уравнения Пуассона, однако имеются некоторые особенности, связанные c неединственностью решения (при k 2 > 0 ). Уравнение (1) будем рассматривать в трехмерном пространстве, n = 3. Соответствующие фундаментальные решения выражающиеся формулами В дальнейшем считаем k > 0. (1) (2)(3)

Внешние краевые задачи для шара. Рассмотрим внешнюю краевую задачу для шара радиуса R Эта задача имеет единственное решение, построим его. Для этого разложим функции u ( r,, ) и u 0 (, ) в ряды сферическим функциям: Неизвестные коэффициенты разложения должны удовлетворять уравнению ( ) (4) (5) (6) (7)

граничному условию и условиям излучения Общее решение уравнения (7) имеет вид где функция Ханкеля. Учитывая асимптотические формулы (11) для этих функций, видим, что условиям (9) удовлетворяет лишь функция так что c 2 = 0. Чтобы удовлетворить условию (8), достаточно положить (8) (9) (10) (11)

Подставляя найденные значения c 1 и c 2 в (10), получим искомое решение u в виде Аналогично рассматривается и внешняя краевая задача II рода. (12)

Уравнение Гельмгольца в сферических координатах ( r,, ) имеет вид: Уравнение (1) допускает разделение переменных, поэтому подставим в него выражение и после разделения переменных получим уравнения: Где и m 2 постоянные разделения. (1) (2) (3) (4)

Найдя соответствующие решения этих уравнений, можно построить собственные функции областей, имеющих форму шара, полого шара, а также шара или полого шара с вырезом либо в виде кругового конуса с вершиной в центре шара, либо в виде части его, заключенной между двумя полуплоскостями, выходящими из одного диаметра. Если изучаемая область охватывает полный диапазон изменения угла, то функция должна иметь период 2 Общее решение уравнения (4), удовлетворяющее этому требованию, имеет вид где m = 1, 2, 3,..., а m произвольная постоянная. Уравнение (2) при = n (n + 1), где n целое число, представляет уравнение присоединенных полиномов Лежандра P nm (cos ). Как мы знаем, произведения присоединенных полиномов Лежандра на функции вида (5) образуют полную систему сферических функций в интервалах 0 2, 0 2 изменения переменных и. Поэтому, для данных интервалов изменения переменных и, в состав собственных функций не может входить никаких других произведений, линейно-независимых с указанными. Следовательно, если изучаемая область охватывает полный диапазон изменения угла, то надо положить = n (n + 1). (5)

Перейдем к уравнению (2). При = n (n + 1), с помощью подстановки оно преобразуется в уравнение Бесселя полуцелого порядка: Решения которого обозначим через Z n+1/2 (kr). Тогда Перемножив функции, и, придем к следующему общему выражению собственных функций для областей, в которых координаты и меняются в интервалах 0, 0 2 (шар и полый шар): Конкретный выбор решения Z n+1/2 (kr) и собственные числа k l 2 определяется заданным граничным условием. (6) (7)

Рассмотрим, например, граничное условие u = 0, когда r = r 0 и r = r 1 (r 1 r 0 ), соответствующее задаче Дирихле для полого шара с внутренним радиусом r 1 и внешним радиусом r 0. Общее решение уравнения (6) имеет вид откуда Подставив это выражение в заданное граничное условие, для определения постоянных А и В получим систему уравнений: (8) (9) (10) (11) (12)

Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее определитель равен нулю, т. е. При значениях параметра k, удовлетворяющих условию Корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возрастания, обозначим через k ln. При k = k ln : вследствие чего можно положить Отсюда для собственных функций задачи Дирихле, поставленной в области, имеющей вид полого шара, получим выражение: где A lmn произвольные постоянные. (13) (14) (15) (16)