Комбинации шара с пирамидой

Определение Пирамида называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около пирамиды.

3 случая : центр шара внутри пирамиды; вне её; в плоскости её основания. !! Центр шара не всегда лежит внутри пирамиды. О – точка, равноудалённая от всех вершин пирамиды.

Теорема Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность. Чтобы не загромождать чертёж, шар не изображают, а показывают только его центр и радиус.

Доказательство Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 1. Рис.1 На рисунке 1 изображена пирамида SA 1 A 2... A n, вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A 1 A 2... A n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A 1 A 2... A n пирамиды SA 1 A 2... A n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA 1 A 2... A n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A 1 A 2... A n, символом O' и проведем прямую p, проходящую через точку O' и перпендикулярную к плоскости многоугольника A 1 A 2... A n (рис. 2). Рис.2

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA 1 A 2... A n. Рис.3 Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA 1 A 2... A n. Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA 1 A 2... A n.

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A 1 A 2... A n, что противоречит определению пирамиды. Теорема доказана.

Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.

Шар, в частности, можно описать: около правильной пирамиды, около треугольной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов.

Теорема Если боковые ребра пирамиды равны между собой или одинаково наклонены к плоскости основания, то около такой пирамиды можно описать шар. Центр шара, в этом случае, лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с перпендикуляром к боковому ребру, проведенному через его середину в плоскости бокового ребра и высоты.

Формулы

Задача 1 Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а длина бокового ребра- 5 см. Вычислите радиус шара, описанной около пирамиды.

Задача 2

Задача 3 Около правильной четырехугольной пирамиды SABCD описана сфера. Вычислите радиус этой сферы, если длина стороны основания равна 4 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60.

Определение Пирамида называется описанной около шара, если шар касается всех граней пирамиды. При этом шар называется вписанными в пирамиду.

Теорема Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

О – точка, равноудалённая от всех граней пирамиды OM=ON=OK=r ш. M, N, K – точки касания. Замечание. Ортогональной проекцией шара является круг, который не является вписанным в многоугольник, являющийся основанием. Где лежит центр? Плоскость, проходящая через биссектрису, называется бис сектором, биссекторной или биссектральной двугранных углов пирамиды.

Теорема Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды. Теорема обратная Если биссекторные плоскости всех двугранных углов пересекаются в одной точке, то в пирамиду можно вписать шар.

Если в основание пирамиды можно вписать окружность, и если основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы, касающейся всех ребер пирамиды, лежит на ее высоте тогда и только тогда, когда пирамида правильная.

Определение Сфера называется вневписанной в n – угольную пирамиду, если она касается основания пирамиды и продолжения всех ее боковых граней. Определение Сфера называется полу вневписанной в пирамиду, если она касается всех сторон основания и продолжений всех боковых ребер пирамиды.

Теорема Для пирамиды существуют одновременно полу вписанная и полу вневписанная сферы тогда и только тогда, когда пирамида правильная.

Вписанная в тетраэдр и описанная около него сферы концентрические (их центры совпадают) тогда и только тогда, когда тетраэдр удовлетворяет любому из условий: сумма плоских углов при любых трех вершинах равна 180°. сумма плоских углов при двух каких – либо вершинах равна 180°, и какие –либо два противоположных ребра равны. грани равны Р граней равны S граней равны скрещивающиеся ребра попарно равны И др. Теорема

Формулы Радиус шара, вписанного в пирамиду V – объем пирамиды S п.п. – площадь полной поверхности пирамиды Радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду

Задача 1 Двугранный угол при ребре правильной треугольной пирамиды равен 60°, а длина стороны ее основания равна 6 см. Вычислите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Задача 2 Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, равен 2 см, а двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны 60°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 3

Комбинация шара с усеченной пирамидой Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар.

В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

Формулы

Задача Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани.

Общие формулы