Теоремы о производных суммы, произведения и частного, их следствия и обобщения. Связь непрерывности и дифференцируемости функций.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Дифференцирование суммы, произведения и частного.
Advertisements

Связь дифференцируемости функции с непрерывностью.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Теорема 1 Производная суммы (разности) двух функций, каждая из которых имеет производную, равна сумме (разности) производных этих функций.
Определение дифференциала функции Дифференцируемость функции Правила дифференцирования Инвариантность формы дифференциала Пример Дифференциал в приближенных.
Интегральное исчисление Определенный интеграл. Определенный интеграл. Определение. Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости, ограниченная.
Производная и дифференциал-1.. Определение производной. Прямолинейное равномерное движение: Неравномерное движение: -средняя скорость за промежуток времени.
§4. Производная Основные правила дифференцирования. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то их сумма дифференцируема.
Правила дифференцирования Таблица производных элементарных функций Производные высших порядков.
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Выберем точку Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy=f(x+Δx)- f(x).
Непрерывность функции Метод интервалов. Функция y= f (x) непрерывна на интервале Х, если она непрерывна во всех точках интервала Х Функция у = f (x) непрерывна.
Исследование функции на монотонность. В С D x 0 Стационарные точки: f, (x)=0 Критические точки: f, (x)=0 или не существует у.
{ определение экстремума – необходимое и достаточные условия существования экстремума – глобальный экстремум – примеры }
Определение экстремума функции Необходимое условие локального экстремума Достаточное условие локального экстремума Пример Условный экстремум Вывод уравнений.
Возрастание и убывание функции Урок 46 По данной теме урок 2 Классная работа
Производная функции может быть найдена по схеме: Дадим аргументу х приращение Δх и найдем значение функции y+Δy=f(x+Δx) Дадим аргументу х приращение Δх.
Сохранение суммы фазовых координат. Важный частный случай представляют системы, в которых в течение всего процесса сохраняется постоянной сумма значений.
Производная функции.
ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ Опрос теории 1. Что называется производной функции f(x) в точке х ? 2. Как можно найти производную функции? 3.Сформулировать.
Транксрипт:

Теоремы о производных суммы, произведения и частного, их следствия и обобщения. Связь непрерывности и дифференцируемости функций.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть f(x 0 ) = Тогда, следовательно, f(x) непрерывна в точке x 0, ч. т. д. Таким образом, дифференцируемость функции в точке является достаточным условием непрерывности функции в этой точке, то есть, если функция разрывна в точке x 0, то она в ней не дифференцируема!

Примеры. 1) Функция f(x) = не дифференцируема в точке x 0 = 1, так как она не определена в этой точке, следовательно, разрывна. 2) Функция f(x) = не дифференцируема в точке x 0 = 0, так как она в ней разрывна (хоть и определена!). Почему дифференцируемость функции в точке не является необходимым условием непрерывности в этой точке? [Функции f(x) = |x| и h(x) = непрерывны в нуле, но не дифференцируемы]

Теорема. Пусть существуют f(x) и g(x). Тогда существуют производные их суммы, произведения и частного, причем: 1) (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x); 2) (f(x) g(x)) = f(x)g(x) + g(x)f(x); 3),если g(x) 0.

Доказательство по определению: Пусть тогда h(x) =

1)Найдите: f(x); f( 1); значения x | функция не дифференцируема 2) g(x) = (3 + x)(2 – ). Найдите: g(x) 4) 3) h(x) =. Докажите, что h(x) =. Найдите f(x). При каких значениях x f(x) > 0?

Домашнее задание: теорема о связи непрерывности и дифференцируемости; теоремы о вычислении производных (с доказательством ); В.:1) 409 (1, 2); 414 (2, 4); 416; 431 (1). 2) Найдите: f(x); f(4); значения x, при которых функция не дифференцируема.