ГАПОУ уфимский топливно энергетический колледж Выполнила студентка группы 1Р - 1 Исхакова Ляйсан Руслановна « Определение выпуклости вогнутости и точек перегиба » 2017

1. Выпуклые и вогнутые функции 2. Точка перегиба 3. Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x) 4. Нахождение интервалов выпуклости функции 5. Решение задач по выпуклости, вогнутости точки перегиба « Содержание »

Определение : Д ифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Определение : Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в люб ой точке интервала Х.

« Выпуклые и вогнутые функции » Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

« Точка перегиба » Точка формула называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной т очке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси О у) и существует такая окрестность точки формула, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x) 1. Найти вторую производную f (x). 2. Найти критические точки II рода функции y = f(x), тетечки, в которой f (x) обращается в нуль или терпит разрыв. 3. Исследовать знак второй производной f (x) в промежутка, н а которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции. 4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Нахождение интервалов выпуклости функции Теорема: Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство формула (формула), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х. Пример. Выяснить промежутки, на которых график функции имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз. Область определения функции - это все множество действительных чисел. Найдем вторую производную:

Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить формула и соответственно. Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале и выпуклая вверх на интервале Графическая иллюстрация Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом

Решение задач по выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

Пример 2 Задание: Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции: Решение: Найдем вторую производную заданной функции: Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки: Так как на промежутке вторая производная, то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке вторая производная - функция вогнута. Так как при переходе через точку х=2 вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции. Ответ. Точка х=2 - точка перегиба графика функции.

Спасибо за внимание!