1 Лекция Момент количества движения точки и главный момент количеств движения механической системы Момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра O есть векторное произведение радиус-вектора точки, проведенного из этого центра, на количество движения точки: (1)

2 Проекции вектора момента количества движения точки относительно центра О на прямоугольные декартовы оси координат равны моментам количества движения относительно соответствующих осей координат: Так как (2) то k x = m(y v z – z v y ), k y = m(z v x – x v z ), k z = m(x v y – y v x ). (3)

3 Главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра О называется геометрическая сумма моментов количеств движения точек системы относительно того же центра. (4)

4 Проекции вектора кинетического момента системы: (5)

5 Ox 1 y 1 z 1 - основная (условно неподвижная) система координат. Сxyz - подвижная система координат с началом в центре масс С движется поступательно по отношению к основной системе отсчета Ox 1 y 1 z 1. (система координат Кенига). Связь между кинетическим моментом системы относительно некоторого неподвижного центра и относительно центра масс системы.

6 Абсолютная скорость точки m k : (6) – относительная скорость – переносная скорость – радиус-вектор точки относительно центра масс

7 (7) 0 0

8 (8) Количество движения системы в ее движении относительно центра масс равно нулю. равенство (7) принимает вид (9) где (10) относительный кинетический момент относительно центра масс C. 0

9 Главный момент количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равен геометрической сумме главного момента количеств движения системы относительно центра масс и момента главного вектора количеств движений относительно центра О в предположении, что он приложен в центре масс системы.

Теорема о моменте количества движения материальной точки Дифференциальное уравнение движения точки или (1) (2)

11 Умножим теперь обе части равенства (2) векторно слева на радиус-вектор (3) (4) Учтем, что 0

12 В результате:(5) (6) В проекциях на неподвижные декартовы оси координат имеем

13 Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра (или относительно неподвижной оси) равна моменту равнодействующей всех действующих на точку сил относительно того же центра (или относительно той же оси).

14 Движение точки массой m под действием центральной силы (линия действия проходит через одну и ту же неподвижную точку О). (7) Вектор момента количества движения материальной точки относительно центра силы O постоянен и по величине и по направлению. Следовательно: 1. Траектория точки, движущейся под действием центральной силы, плоская кривая, плоскость которой проходит через центр силы. О

15 Момент вектора скорости относительно точки О остается постоянным:, - площадь ометаемая радиус-вектором за время t. 2. (так как )

16 (8) Секторная скорость: (9) Сравнивая формулы (9) и (7), легко заметить, что (10)

17 При движении материальной точки под действием центральной силы секторная скорость точки постоянна, т.е. радиус-вектор точки описывает равные площади в любые одинаковые промежутки времени. Этот результат называется законом площадей (второй закон Кеплера ) Закон установил Кеплер на основе многолетних исследований Тихо Браге. Опубликован в 1609 году в книге «Комментарии о движении Марса».

Теорема о главном моменте количеств движения механической системы Дифференциальные уравнения движения системы N материальных точек: (k = 1, 2, …, N) или (1) (2) (k = 1, 2, …, N)

19 Умножим обе части равенства векторно слева на радиус-вектор : (3) Используя тождество (4) предыдущего параграфа и суммируя, имеем (4) или: (5) 0

20 Учитывая, что Имеем: (6) В проекциях: (7)

21 Производная по времени от главного момента количества движения механической системы относительно неподвижного центра (или некоторой оси) равна главному моменту всех действующих на систему внешних сил, относительно того же центра (или той же оси). Теореме о моменте количества движения относительно неподвижного центра можно дать кинематическую интерпретацию. Из кинематики известно, что скорость точки можно рассматривать, как скорость конца ее радиус-вектора, следящего за движущейся точкой.

22 Траектория движущейся точки - годограф радиус- вектора. Теорема Резаля Резаль, Луи-Жан-Виктор-Аме (Ré sal, род. в 1854 г.) французский инженер, профессор теории постройки мостов и прикладной механики. Известен, как теоретик и конструктор металлических мостов. Из построенных им мостов замечательны в техническом отношении Барбенский мост на Нантском канале у Бреста и мосты Мирабо и Александра III в Париже.

23 (8) - скорость конца вектора кинетического момента (9) - скорость точки О О

24 Сравнивая равенства (6) и (9): При движении механической системы скорость конца вектора главного момента количеств движения системы относительно некоторого центра равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к системе относительно того же центра.

Теорема о главном моменте количества движения механической системы относительно центра масс Ox 1 y 1 z 1 – основная («неподвижная») система координат Сxyz – поступательно движущаяся система координат с началом в центре масс (1) Теорема о главном моменте количества движения:

26 В абсолютном движении (2) Следовательно (3)

27 или (4) 0 (5)

28 С учетом (5) имеем: (6) (теорема о количестве движения системы) (7)или Производная по времени от главного момента количеств движений системы относительно центра масс равна главному моменту всех действующих на систему внешних сил относительно центра масс. 0

Законы сохранения главных моментов количеств движения системы Теорема о моменте количества движения в векторной и аналитической формах: (1) (2)

30 Если главный момент всех внешних сил, приложенных к точкам механической системы, относительно неподвижного центра О равен нулю, то главный момент количеств движения системы относительно того же центра постоянен и по величине и по направлению. 1. (3) Из уравнения (1):(4)

31 2. (5) Из уравнений (2): K x = const. (6) Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему, относительно какой-либо оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой же оси остается постоянным.