Содержание: Приращение функции Понятие о производной Определение производной Правила вычисления производной Производная сложной функции Производные тригонометрических функций Производные тригонометрических функций

Приращение функции. Δf=f(x 0 + Δ x)-f(x 0 ) конспект

Определение. Производной функции ƒ в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при Δ х, стремящемся к нулю. Конец.

Понятие о производной. (x 2 ) ΄= Δ у/ Δx=(x 0 + Δx) 2 -x 0 2 / Δx=x x Δx+ +Δx 2 -x 0 2 / Δx=2x 0 Δx+ Δx 2 / Δx=2x 0 +Δx2x 0 0 Назад

Определение производной. f ΄(x 0 )=lim /Δx 0 f(x 0 + Δx)-f(x 0 )/Δx f (x)-дифференцируема с΄=0; x΄=1; (c x)΄=c (x)΄= c Далее.

Правило вычисления производных. (u ± v ) ΄ = u ΄± v ΄ (u · v ) ΄ = u΄ v + u v ΄ (u / v) ΄ =u ΄ v – u v ΄/ v 2 (x n ) ΄=n x n-1 Вперед.

Производная сложной функции. h ( x ) = g ( f ( x ) ) h ΄(x 0 )=g ΄(f(x 0 ))·f ΄(x 0 ) Далее Далее.

Производные тригонометрических функций. (sin x) ΄ =cos x (cos x) ΄ = - sin x (tg x) ΄ = 1/cos 2 (ctg x) ΄ = -1/sin 2 x h( x)=g ( f ( x ) ) h ΄ (x 0 )=g ΄ (f(x 0 ))·f ΄ (x 0 ) Далее.

Дифференцирование. Функцию, имеющую производную в точке х о называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D 1 -множество точек, в которых функция ƒ дифференцируема.Сопоставляя каждому х D 1 число ƒ ΄ (х), получим новую функцию с областью определения D 1. Эта функция называется производной функции y = ƒ (х).Мы получаем формулы (х 3 )=3 х 2 (х 2 )=2 х,(kх +b) ΄ =k.В формуле k=0, b=С где С произвольная постоянная получаем что С΄ =0,производная постоянная равна нулю.

Приращение функции. При сравнении значения функции ƒ в некоторой фиксированной точке х 0 значениями этой функции в различных Точках х лежащих в окрестности х 0,удобно выражать разность ƒ (х)-ƒ (х 0 ) Через разность х-х 0,пользуясь понятиями «приращение аргумента»и «приращение функции». Δ х = х-х 0 х = х 0 + Δ х. Вследствие этого функции ƒ изменится на Величину ƒ (х)- ƒ (х 0 )= ƒ (х 0 + Δ х)-ƒ (х 0 ).

Приращение функции. Эта разность называется приращением Функции ƒ в точке х 0 соответствующим приращению Δ х, и обозначается Δ ƒ, Т.е.по определению Δ ƒ = ƒ (х 0 + Δ х)- ƒ (х 0 ), откуда ƒ(х)= ƒ (х 0 + Δ х)= ƒ (х 0 )+ Δ ƒ. Обратите внимание :при фиксированном х 0 Приращение Δ ƒ есть функция от Δ х. Δ ƒ называют также приращением зависимой Переменной и обозначают через Δ у для функции У= ƒ (х). ДАЛЬШЕ

Производная сложной функции Если функция f имеет производную в точке х 0,а функция g имеет производную в точке у 0 =f(х 0 ),то сложная функция h(х)=g (f(х)) также имеет производную в точке х 0,причем h΄(х 0 )=g΄(f(х 0 )) · f΄(х 0 ). Далее.

Приращение функции. Пример 1. Найдем приращения Δ х и Δ f в точке х 0,если f(х)= Х 2,А) Х 0 =2 и: Х=1,9; Δ х = х-х 0 =1,9-2= - 0,1; Δ f =f(1,9)-f(2)=1, = - 0,39 НАЗАД

Производная сложной функции. Пример 1. Найдем производную функции h (x)=(2x+3) 100 Функцию h можно представить в виде сложной функции h (x)=g (f (x)), где g (y)=y 100, y=f (x)=2x+3. Так как f ΄(x)=2 и g΄(y)=100y 99, имеем h΄(x)=2·100y 99 =200(2x+3) 99 Назад.

Правила вычисления производных. Правило 1. Если функции U и v дифференцируемое в точке х 0,то их сумма дифференцируема в этой точке и производная суммы равна сумме производных. (U + v) ΄ = U΄ + v΄. Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0,то их произведение дифференцируемо в этой точке (u v ) ΄= u΄ v +u v΄. Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0 и функции v не равна нулю в этой точке то Частное u/ v также дифференцируемо в х 0 и (u/ v ) ΄ =(u΄ v- u v΄)/v 2. Далее.

Правила вычисления производных. Пример 1. Найдем производные функций: А) f (x)=x 2 -1/x (1/x) ΄= - x΄/x 2 = -1/x 2, поэтому (x 2 - 1/x) ΄= =(х 2 ) ΄-(1/x) ΄=2x-(-1/x 2 )=2x+1/x 2 Конец Конец.

Производные тригонометрических функций. Формула производной синуса. Докажем, что функция синуса имеет производную в любой точке и (sin x) ΄= cos x. Применяя формулу sin α –sinβ=2cos α β/2 · sin α+β/2, Находим Δ sin x/ Δ x=sin(x 0 +Δ x)-sin x 0 /Δ x = =2cos(x 0 +Δ x/2)sin Δx/2/ Δ x= = sinΔx/2/Δx/2cos(x 0 +Δx/2). Далее.

Производные тригонометрических функций. Для вывода формулы достаточно показать,что а) sinΔx/2/Δx/2 1 при Δx 0; б) cos(x 0 +Δx/2) cos x 0 при Δx 0 Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу. Действительно, при Δ х 0 (x 0 +Δx/2) Δ Δ sin x/Δx=sinΔx/2/Δx/2Δ· cos 1· cos x 0 =cos x 0. Конец.

Формула приближенного вычисления. У=f(x 0 )+f ΄(x 0 )(x-x 0 ) У f(x 0 )+f '(x 0 ) Δx

Производная в физике и технике. Vср ( Δt)=Δx/Δtv(t 0 ) Δx/Δtx'(t 0 ) V (t)= x´(t) a=v' (t)

Метод интервалов. 1f Δf 0 при Δ х 0 f (x) (a) при х а f '=> f 2 f и f 0 => (±соns)

Метод интервалов. У=k x + b A(x 0 ;f(x 0 )) У=f '(x) x + b f(x 0 )23=f´(x 0 ) x 0 + b b= f(x 0 )-f´(x 0 ) x 0 У=f ´(x 0 ) x + f(x 0 )-f´(x 0 ) x 0 У=f(x 0 )+f´(x 0 ) (x-x 0 )

Касательная к графику функции. k=f ´(x 0 )=tgα f ´(x 1 )>0; f ´(x 2 )=0; f ´(x 3 )<0 f ´(x 1 )=1; f ´(x 2 )=0; f ´(x 3 )=-1

Касательная к графику функции. f (c)= f (b ) – f ( a ) / b - a