ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ Работу выполнила : Хромова Анна ученица 8 класса « В » ГБОУ Гимназии 1257 Научный руководитель : Заесёнок Вера Павловна Москва, 2017

АКТУАЛЬНОСТЬ Задача, которая предлагалась на муниципальном туре ВОШ года для 7- х классов : « на планете С в ходу два вида монет : по 16 тугриков и по 27 тугриков. Можно ли с их помощью купить товар, ценой в 1 тугрик ?» Решение : 16 х +27 у =1. Ответ : можно заплатить 3 монетами по 27 тугриков и получить сдачу 5 монетами по 16 тугриков.

Цель : изучение уже существующих методов решения диофантовых уравнений и разработка собственных приемов решения этих уравнений. Задачи : - изучение литературных и интернет - источников по вопросам, связанным с диофантовыми уравнениями, их создателем и методами решения ; - выделение нескольких методов решения диофантовых уравнений, удобных для объяснения ученикам 7-8 классов ; - разбор данных методов на примере составленных мной задач ; - разработка собственных приемов решения диофантовых уравнений на основе выделенных ; - проверить успешность усвоения как выделенных из литературы, так и разработанных самостоятельно методов решения диофантовых уравнений учениками 8- ых классов. Объектом моего исследования являются диофантовы уравнения. Предметом исследования являются различные методы и приемы решения диофантовых уравнений. Считаю, что из большого числа методов решения диофантовых уравнений можно выделить несколько, доступных для понимания учениками 7-8 классов, а также разработать новые приемы решения таких уравнений – это и составляет гипотезу моей работы. В своей работе я использовала следующие методы : - изучение и обработка различных источников информации ; - сравнение, анализ, аналогия ; - практическая работа по составлению задач ; - разработка новых приемов решения диофантовых уравнений ; - эксперимент по обучению решению задач учеников 8- ых классов.

ДИОФАНТ И ЕГО ВРЕМЯ Прах Диофанта гробница покоит ; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец ; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ Диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными имеет вид : ax + by = c, Где a, b, c заданные целые числа, x и y неизвестные целые числа. Решить диофантово уравнение – это значит выяснить следующее : имеет ли оно хотя бы одно целочисленное решение ; конечно или бесконечно число его целочисленных решений ; найти все его целочисленные решения. Существует правило, которое поможет определить, а имеет ли вообще данное диофантово уравнение решение : Если с не делится на НОД ( а,b), то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО Задача : в каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких - то страницах расположено 4 картины, а на каких - то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге ? Решение : 4x+6y=96; 4 х =96-6 у ; 4 х =96-6 у |:4; х =(96-6 у ):4. Остатки при делении на 4: 1,2,3. Если у =1, то х =(96-61):4=90:4 - Не походит, решение не в целых числах. Если у =2, то х =(96-62):4=21 – Подходит. Ответ : на 21 странице расположено 4 картины, а на 2 страницах 6 картин.

МЕТОД РЕШЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА Задача : в магазине продаётся шоколад двух видов : молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида ? Решение : 4 у -7 х =1. Выразим 7=41+3, => 3=7-41. Выразим 4=31+1, => 1=4-31=4-(7-41)=4-7+41=42-71=1. х =1; у =2. Ответ : молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.

МЕТОД ПОИСКА ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ И ПОСЛЕДУЮЩИЙ ПЕРЕХОД К ОБЩЕМУ

МОЕ РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Решение с помощью составления таблицы умножения. Задача : поэт Цветик все свои стихи пишет из 18 строк, а поэт Самоцветик – из 29. Однажды поэты решили выпустить совместный сборник стихов. Сколько в нем может быть стихов Цветика и сколько стихов Семицветика, если Цветик написал на одну строчку больше ? Решение : 18 х –29 у =1. Для этого уравнения создадим таблицу умножения 18 и 29. Ответ : Цветик написал 21 стих, а Самоцветик 13. Достоинства : ответ наглядно виден в таблице. Недостатки : иногда приходится составлять громоздкие таблицы

МОЕ РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Метод последовательного вынесения общего множителя за скобки. Задача : в заколдованном пруду живут синие и красные осьминоги. У синих осьминогов по 7 ног, а у красных - по 11. Сколько в пруду красных и сколько синих осьминогов, если всех красных ног на одну меньше, чем синих ? Решение : 7 х -11 у =1; 7 х -7 у -4 у =1; 7( х - у )-4 у =1; 4( х - у )+3( х - у )-4 у =1; 4( х - у - у )+3( х - у )=1;

РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ТРЕБОВАНИЙ ЗАДАЧИ Задача : Чтобы жениться на царевне, витязь каждую ночь должен рассказывать сказки ее отцу - царю Гороху. В какие - то ночи он рассказывает по 3 сказки, а в какие - то по 5 сказок. Всего он знает 382 сказки. а ) Сколько ночей витязь будет рассказывать по 3 сказки и сколько ночей по 5? б ) Сколько ночей витязь будет рассказывать по 3 сказки и сколько ночей по 5, если царь требует рассказать сказки как можно дольше, и сколько ночей это у него займет ? в ) Сколько ночей витязь будет рассказывать по 3 сказки и сколько ночей по 5, если он хочет как можно быстрее жениться на царевне, и сколько ночей это у него займет ?

РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ТРЕБОВАНИЙ ЗАДАЧИ

б ) Решение : 382-5=377 – не подходит, т. к. не кратно трем =372 – подходит, оно кратно трем, значит поделим его на 3. х =372:3; х =124. у = =126. Ответ : ночей с 5 сказками будет 2, а ночей с 3 сказками будет 124. Всего 126 ночей.

РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ТРЕБОВАНИЙ ЗАДАЧИ в ) Решение : 382-3=379 - не подходит, т. к. не кратно пяти =376 - не подходит, т. к. не кратно пяти =373 - не подходит, т. к. не кратно пяти =370 – подходит, т. к. кратно 5. у =370:5; у =74. х =4. Ответ : ночей с 5 сказками будет 74, а с 3 сказками – 4. А все сказки витязь расскажет за 78 ночей.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. СТРОИМ ГОРОД Задача : в своем микрорайоне Вы можете построить четырнадцати - и шестнадцатиэтажные дома. Сколько домов каждого вида необходимо построить, если известно, что всего Вы построите 870 этажей ?

АПРОБАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ ПРИЕМОВ Задачи, предложенные для решения : 1. Буратино подарил Мальвине букет, состоящий из ромашек и пионов, причем у всех ромашек было по 12 лепестков, а у всех пионов по 32 лепестка. Сколько в букете было ромашек и сколько пионов, если известно, что лепестков всех ромашек было на 28 больше чем лепестков всех пионов ? 2. Попугай Кеша умеет строить фразы только из 4 слов, а попугай Яшка только из 6 слов. В одном из их диалогов можно было насчитать 62 слова. Сколько фраз сказал каждый из попугаев ? На факультативных занятиях в группе было 12 человек. Задачи Не решили Метод подбора Решили через одно неизвестное Алгоритм Евклида Таблица умножения Метод вынесения общего множителя Вывод : проведенный эксперимент показал, что как выделенные из описанных в литературе, так и разработанные мною методы решения диофантовых уравнений оказались понятны ученикам 8- х классов, они стали использовать их в решении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Моя гипотеза подтвердилась. Я выделила несколько методов решения диофантовых уравнений, доступных для понимания учениками 7-8 классов. Это метод решения относительно одного неизвестного, метод с использованием алгоритма Евклида и метод поиска частного решения и последующий переход к общему. Также мной были разработаны два новых метода решения диофантовых уравнений : с использованием таблицы умножения и метод последовательного вынесения общего множителя за скобки, которые удобно использовать ученикам 7-8 классов, т. к. все действия в моих методах изучаются в рамках школьной программы, а это значит, что ученики будут практиковаться в уже известных им приемах, решая диофантовы уравнения на уроках, на факультативных занятиях, а также в рамках олимпиад.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ : 1)А. О. Гельфонд, " Популярные лекции по математике ", изд - во " Наука ", 1978 г., 66 стр.; 2) И. Михайлов, " О диофантовом анализе ", журнал " Квант ", 1980 г., стр , 35.; 3) 3. С. А. Степанов, " Диофантовы уравнения ", труды МИАН СССР, 1984 г., т.168, стр ; 4) 5) 6) 7) 8)