П а р а б о л а Т е о р е м а К о о р д и н а т ы А л г е б р а П р я м а я И н т е р в а л А к с и о м а с у м м а О р д и н а т а В и е т

Из истории Арифметической прогрессии

Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVII веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

«Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры» Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2, 3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число. Треугольное число - это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии. Задачи из папируса Ахмеса или Райнда

Фигурные числа Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д. Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма. Блез Паскаль Пьер Ферма

ФигураЧислаОбщий член S n S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 … 1Треугольник …n(n+1)/2 2Квадрат …n2n2 3Пятиугольник …n(3n-1)/2 4шестиугольник …n(2n-1) d=1 1;2;3;4;… d=3 1;4;7;10;… d=2 1;3;5;7;…

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn в истории выводилась неоднократно и разными способами. Способ пифагорейцев Треугольник, образованный первыми n натуральными числами, является половиной прямоугольника со сторонами n и (n + 1), следовательно, сумма первых n натуральных чисел равна ((n + 1)n)/2. n = 7, S n = 28

С формулой связан один из эпизодов биографии К.Ф.Гаусса. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царем математики» К.Ф.Гаусс

Древнейшая задача о делении хлеба Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому? Решение: Пусть у- разность арифметической прогрессии, тогда доля первого – х; доля второго – (х + у); доля третьего – (х + 2у); доля четвертого – ( х + 3у); доля пятого – (х + 4у). По условию задачи составим систему уравнений:

Следовательно, хлеб должен быть разделен на следующие части:

Индийский астроном и математик Ариабхата (V в.) применял формулы общего числа, суммы n членов арифметической прогрессии. Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении итальянского математика Леонардо Пизанского «Книга абака» 1202г.

Арифметическая прогрессия Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Число d - разность прогрессии d = a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = a 4 -a 3 =….

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… ––––32 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… –2–– 6– 8 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 – 2 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

Формула n-го члена арифметической прогрессии a n =a 1 +d(n-1) Дано: a 1 = 7, d = 5 Найти: a 4 a 4 =22

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии Характеристическое свойство х 1, х 2, 4, х 4,14, … найти: х 4 Х4=9

Формулы суммы n первых членов прогрессий Дано : a 1 = 5, d = 4 Найти : S 5 S 5 = 65 арифметическая

0 1 1 n anan Рис Про арифметическую прогрессию (а n ) известно, что а 7 = 8, а 8 = 12. найдите разность арифметической прогрессии. А) -4Б) 4В) 20Г) 3 2. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии? А) -7 В) 12Г) 17Б) 6 3. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены. Ответ: а 2 =1; а 4 = 7,

За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день? Прогрессии в жизни, в быту и не только…

1.Решение: S16=½ (2а ) 16; 472 =16 а ; а1 = ( ):16=7. а16 =7+ 3 (16-1)=52. Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.

В сборнике по подготовке к экзамену 240 задач. Ученик планирует начать их решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая каждый день на две задачи больше, чем в предыдущий день. Сколько задач ученик запланировал решить 12 мая? Прогрессии в жизни, в быту и не только…

2.Решение: 240= ½ (2 а ) 15; 240:15= а ; а 1 = 2; а 11 = = 22. Ответ:22 задачи надо решить 12 мая.

В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? Прогрессии в жизни, в быту и не только…

3.Решение: 280= а1 + 20(10-1); а1 = = 100; S 10 = ½ ( ) 10 =1900. Ответ:1900 человек вмещает амфитеатр.

Тест по теме «Арифметическая прогрессия» Пройдите за компьютеры. У вас 15 минут. Успешного решения!

Домашнее задание На «4» Сборник ГИА Кузнецова Л.В (2) На «5» Сборник ГИА Кузнецова Л.В. 7.22,7.29, 7.30, 7.38 (2) Творческое задание: сделать подборку старинных или практических задач по теме «Прогрессии»

Оцените свои знания и умения на конец урока. Был ли полезен урок для каждого из вас? Чем? Сегодня на уроке я -узнал… - лучше научился… -смог, потому что… - у меня не получилось, потому что… - дома надо потренироваться…

Урок сегодня завершён, Дружней вас не сыскать. Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут! Спасибо за урок!

I (слайд 2 ) Тему сегодняшнего урока мы узнаем, разгадав кроссворд: 1. Как называется график квадратичной функции? 2. Математическое предложение, справедливость которого доказывается. 3. Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости. 4. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся России начинают её изучать с 7 класса. 5. Линия на плоскости, задаваемая уравнением у=кх+b. 6. Числовой промежуток. 7. Предложение, принимаемое без доказательства. 8. Результат сложения 9. Название второй координаты на плоскости. 10. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений. II (слайд 3) Итак, тема урока «Прогрессии». Прогрессия – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием. - А почему во множественном числе? Какие знаете прогрессии? Давайте сформулируем цели нашего урока. Установи соответствие ответы: III (слайд 4 ) историческая справка ( д/з ) IV ( слайды 5-10 ) обобщение теоретического материала