Сложные проценты Работу выполнила ученица МБОУ "Урмарской СОШ им.Г.Е.Егорова« 10 Б класса Захарова Екатерина Сколько банк не корми, а проценты будут выше.банк

Немного об истории 0 «Процент» (от лат. «pro centum»)-буквально переводится «за сотню», или «со ста». 0 Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. 0 Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией.

0 Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. 0 От римлян проценты перешли к другим народам. 0 В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге ( Нидерланды ). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

Проценты употребляются: 1. В торговых и денежных сделках. 2. Встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах. 3. В статистике. 4. В науке. 5. Технике.

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento ( сто ), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Вычисление 0 Если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. 0 Присоединение начисленных процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.

Применение Мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д. С помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. На если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия, соответствующих мер.

Определение процента 0 Что такое процент? 0 Сотая часть метра – это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера – килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Поэтому для них было придумано специальное название – процент. 0 Математическими знаками один процент записывается так: 1%= 0, копейка – 1% рубля 1 ар – 1% гектара 0 1 см – 1% метра 1 кг – 1% центнера 0 Один процент – это одна сотая доля числа.

0 1 % = 0,01 0 0,02 = 2% 0 2% = 0,02 0 0,12= 12% 0 21 % = 0, ,11 = 111% 0 120% = 1,2 0 21% = 21_ 100

В данной теме сообщается история появления процентов; устраняются пробелы в знаниях по решению задач на проценты: Например: Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Изменилась ли цена товара? нахождение процента от числа нахождение процента от числа нахождение числа по его проценту нахождение числа по его проценту нахождение процента одного числа от другого нахождение процента одного числа от другого

Правило. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать дробью, а затем число умножить на эту дробь. Задача. Никелевая руда содержит 4% никеля. Сколько никеля содержится в 150 тоннах такой руды? 4% = 0, * 0,04 = 6 ( тонн) никеля содержится в такой руде. Ответ: 6 тонн. Решение.

Правило. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь. Задача. Ученик прочитал 35 страниц. Это составляет 17,5% книги. Сколько страниц в книге? Решение. 17,5% = 0, : 0,175 = 200 ( страниц) всего в книге. Ответ: 200 страниц

0 Правила. 0 Чтобы найти сколько процентов составляет одно число от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. 0 Чтобы найти процентное отношение двух чисел ( а и в ), надо отношение этих чисел умножить на 100% ( а/в*100%).

0 Задача. 0 При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план? 0 Решение * 100% = 110 % на столько процентов завод выполнит план. 0 Ответ: 110% 0 Задача. 0 В посёлке построили 16 одноэтажных домов и 4 двухэтажных дома. Сколько процентов всех построенных домов составляют одноэтажные дома? 0 Решение = 20 (домов) всего построили * 100% = 80% составляют одноэтажные дома Ответ: 80%

0 Например: 0 Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12 %, и решил в течении 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? В этой теме показывается широта применения в жизни процентных расчетов широта применения в жизни процентных расчетов вводятся базовые понятия экономики: стоимость товара, зарплата, бюджет, тарифы, прибыль… вводятся базовые понятия экономики: стоимость товара, зарплата, бюджет, тарифы, прибыль… решаются задачи, связанные с банковскими расчетами решаются задачи, связанные с банковскими расчетами

I = Pni. I проценты за весь срок ссуды; P первоначальная сумма долга; S наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока; i ставка наращения процентов в виде десятичной дроби; n срок ссуды. В конце первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит Р + Рi = Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i)+ Р(1 + i)i = Р(1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна: S = Р(1 + i)n

I =S – P = Р[(1 + i)n – 1] Величину (1 + i)n называют множителем наращения по сложным процентам.

Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб. через 3 года при росте по сложной ставке 10% годовых? S = 1 (1 + 0,1)3= 1,331 млн руб Ответ: 1,331 млн руб

Процент по вкладу Процентная ставка Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере рублей. Какая сумма будет на счёте через 5 лет, через 10 лет? При какой процентной ставке вклад на сумму 500 рублей возрастет за 6 месяцев до 650 рублей?

0 Используя формулу: 0 S n = S 0 (1+np:100), где S n - вклад с начисленными процентами S 0 - первоначальная сумма вклада n - число лет р - число процентов 0 S 5 = (1+5*8 :100) = (руб.) 0 S 10 = (1+ 10*8 :100) = (руб.) 0 Ответ: рублей и рублей 0 По формуле S n = S 0 (1+np:100), где S n - вклад с начисленными процентами S 0 - первоначальная сумма вклада n - число лет р - число процентов 0 S 6 = 500 (1+6p:100) Получим уравнение: 0 500(1+6p:100) = p = (650:500 -1)* 100 :6 0 p = 5% процентная ставка 0 Ответ: 5%

Если в контракте ставка процентов изменяется, то применяют формулу: i1,i2,…,ik последовательные значения ставок ; n1,n2,…,nk - периоды для соответствующих ставок.

Часто для начисления процентов срок не является целым числом. Применяют три метода начисления процентов. 1) Наращенная сумма находится по формуле: na - целая часть периода начисления, nb – дробная часть периода начисления.

2)Предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов: 3) В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций про- центы начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается:

Кредит в размере 1 млн руб. выдан на 2 года и 180 дней под 10% сложных годовых. Найти сумму долга на конец срока тремя методами.

Задача 1А Вкладчик внес в банк р. Банк выплачивает 3% годовых. Через 2 года 3 месяца и 7 дней вкладчик закрыл счет. Какую сумму выплатил банк? Выплата банка составит: (собственно вклад) 0 + (процент за два года) 0 + (процент за 3 месяца) 0 + (процент за 7 дней). 0 Т.е: ,90 = 12816,9 рублей Ответ 1: 12816,9 рублей

Задача 1Б Вкладчик внес в банк р. Банк ежегодно начисляет 3% годовых. Через 2 года 3 месяца и 7 дней вкладчик закрыл счет. Какую сумму выплатил банк? Коэффициент увеличения ставки За первые 2 года будет начислено За оставшийся период: Ответ 2: 12833,61 руб

Задача декабря 2014 года Дмитрий взял в банке рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%), Затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил платеж двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Задача декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 14%), Затем Владимир переводит в банк рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами?

Задача 3. Ответ: рублей

Задача декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на а%), Затем Евгений переводит в банк очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 тыс. рублей, а во второй 649,6 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Евгению?

Задача 4 Ответ: 12 %

Задача 5. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Задача 5 Через два месяца: Через 3 месяца: После погашения части долга Х, остаток кредите составит: Через 4: Т.о. через n месяцев: Ответ: 5

Задача 6. В банк помещена сумма рублей под 50 % годовых. В конце каждого из первых четырех лет, после начисления процентов, вкладчик вносит одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился на 725%. Какую сумму вкладчик вносил в банк ежегодно?

Задача 6 Сумма вклада через год после внесения дополнительного взноса Х: Через два года: Через 3 года: Через 4 года: Через 5 лет: Х=0,21 млн.руб

Задача 7. За время хранения вклада в банке процент по нему начислялся ежемесячно в размере 5%, затем 8% и, наконец, 11 1/9 %. Известно, что под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев. По истечению срока хранения первоначальной суммы вклад увеличился на 96%. Определите срок хранения вклада.

Задача 7 n 1 = 2. n 3 = 4n 2 = 2 Ответ: = 8 месяцев

Задача 8. Некоторая сумма, больше 1000 рублей, была помещена в банк, и после первого года хранения проценты, начисленные на вклад, составили 400 рублей. Владелец вклада добавил на счет 600 рублей. После второго года хранения и начисления процентов сумма на вкладе стала равна 5500 рублей. Какова была первоначальная сумма вклада, если процентная ставка банка для первого и второго года хранения была одинакова?

Задача 8 Доход по вкладу через год хранения: К началу второго года, после внесения дополнительной суммы: Через два года процент за хранение вклада Собственно сумма вклада Ответ: 4000 рублей

Задача 9. Цена некоторого товара была повышена сначала на 10%, затем еще на 120 рублей и, наконец, еще на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Задача 9 После первого повышения цена товара: После второго повышения цена составила: После третьего: Ответ: 800 рублей

Задача 10. Фермер получил кредит в банке под определенный процент. Через год фермер вернул в банк в счет погашения кредита ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту?

Задача 10 Пусть сумма кредита S,тогда через год сумма к возврату Sb. Сумма долга после выплаты ¾ кредита составила 1/4Sb. Через два года оставшаяся часть по кредиту увеличилась в b раз: 1/4Sb 2 И составила 121% первоначальной суммы: Ответ: 120%

Задача 11. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Задача 11 Пусть у первого брокера было А акций, а у второго В акций После подорожания акции на к %, стоимость акции увеличилась в в раз, где Тогда выручка от продажи акций первым брокером составила 0,75Ав, а вторым брокером 0,8Вв. Выручка второго брокера составила 240 % выручки первого брокера Ответ: 37,5 %.

0 Например: 0 Сколько граммов 30%-го раствора соли надо добавить к 80 г 12%-го раствора этой же соли, чтобы получить 20%-ый раствор соли? Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли смешение кислот различной концентрации смешение кислот различной концентрации сплавления металлов с различным содержанием некоторого металла сплавления металлов с различным содержанием некоторого металла

0 Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900 г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве? 1)0,6 * 300= 180(г) - масса олова в первом сплаве равна 2) 0,8 *900= 720 (г) - масса олова во втором сплаве 3) =900(г) - масса олова в новом сплаве 4) =1200(г) - масса нового сплава 5)900:1200 * 100% = 75% - процентное содержание олова в новом сплаве. Ответ: 75%

0 Пусть в смеси было х литров спирта, тогда объём воды в ней был 4 х литров. 0 В новой смеси количество спирта осталось прежним (х) литров, объём воды в ней ( 4 х+20) литров. 0 Объём новой смеси равен (х+4 х+20)литров 0 Процентное содержание спирта (х: (5 х+20))*100% = 12% по условию задачи Получим и решим уравнение: х : (5 х + 20) = 0,12 Решив уравнение, получим, что х = 6 6 литров спирта было в смеси первоначально 6*4 = 24 литра воды было в смеси первоначально. 0 Ответ: 24 литра. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с содержанием 12% спирта. Сколько воды было в смеси первоначально?

0 Концентрация серебра в сплаве массой 300 г составляет 87 %. Сколько чистого серебра содержит сплав?

0 Сколько килограммов соли в 100 килограммах солёной воды, если процентное содержание соли 15 %?

Различные истории, связанные с процентными вычислениями, встречаются в художественных произведениях, в исторических документах и преданиях. В романе М. Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлёвы » есть такой эпизод : В романе М.Е. Салтыкова Щедрина «Господа Головлёвы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казённые 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия?

0 1) 3000: 100* 5 = 150 ( руб.) заплатит Петя проценты за один месяц 0 2) 150 * 12 = 1800 (руб.) заплатит Петя проценты за один год 0 3) = 4800 (руб.) заплатит Петя бабушке через год 0 Ответ: 4800 рублей.

0 Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернёшь мне в установленный срок 50 сестерциев и ещё 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Найдём 20% от 50 сестерциев 50:100 *20 = 10 сестерциев Небогатый римлянин должен отдать заимодавцу = 60 сестерциев Ответ: 60 сестерциев