Исследовательский проект на тему: Аликвотные дроби Авторы: Стасюк Евангелина и Трускова Маргарита МБОУ «Гимназия 2», 5 «А» класс Руководитель: Калашникова Людмила Степановна г.Железнодорожный Апрель 2017

В ВОДНАЯ ЧАСТЬ На уроке математики мы изучили обыкновенные и десятичные дроби, но ещё мы узнали что есть ещё один вид дробей- Аликвотные. Мы поинтересовались об этом у своей учительницы по математике, и она объяснила что такое аликвотные дроби и их свойства.

Ц ЕЛЬ ПРОЕКТА Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

З АДАЧИ ПРОЕКТА 1. Узнать, что такое аликвотная дробь и каково её происхождение. 2. Узнать какие действия можно проводить с аликвотными дробями. 3. Узнать свойства аликвотных дробей. 4. Рассмотреть задачи на аликвотные дроби. 5. Узнать как и где используются аликвотные дроби. 6. Сделать вывод о проделанной работе.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ Аликвотными дробями, называют дроби вида, где числитель 1, а n – натуральное число. В переводе от латинского aliguot- "несколько'.

ПЕРВЫЕ ДРОБИ, С КОТОРЫМИ НАС ЗНАКОМИТ ИСТОРИЯ П РИЧИНОЙ ПОЯВЛЕНИЯ ЭТИХ ДРОБЕЙ ЯВЛЯЛАСЬ НЕОБХОДИМОСТЬ РАЗБИТЬ ЕДИНИЦУ НА ДОЛИ Это нужно было для того: 1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать. 2. чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».

И З ИСТОРИИ АЛИКВОТНЫХ ДРОБЕЙ Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Е ЩЁ В ДРЕВНЕМ Е ГИПТЕ У ЛЮДЕЙ ВОЗНИКЛА ПОТРЕБНОСТЬ ЗАПИСЫВАТЬ ДРОБИ КАК СУММЫ ДОЛЕЙ. Дробей вида 1/n У египтян и у вавилонян эти дроби имели специальные обозначения. 1212

С КАЖЕМ, ЧИСЛО 2/43 ОКАЗАЛОСЬ БОЛЕЕ СЛОЖНО РАЗЛОЖИТЬ НА СУММУ 4 АЛИКВОТНЫХ ДРОБЕЙ. 2/42 = 1/42 + 1/86 + 1/ /301 ДЕЙСТВИЯ С АЛИКВОТАМИ 1. Аликвоты можно складывать. 2. Аликвоты можно вычитать. 3. Аликвоты можно умножать. 4. Аликвоты можно делить.

С ВОЙСТВО АЛИКВОТНЫХ ДРОБЕЙ Первое свойство аликвотных дробей: 1/a*b=1/a-1/b; а и b- натуральные числа а меньше чем b

С ВОЙСТВО АЛИКВОТНЫХ ДРОБЕЙ Второе свойство аликвотных дробей: 1/a-1/a+2=2/a(a+2) Доказательство: 1/a-1/a+2=a+2- a/a*(a+2)=2/a(a+2)

Все дробные числа записывались в виде аликвотных (единичных) дробей: 8/15 = 1/3 + 1/5; 1/2 = 1/3 + 1/6, 1/4 = 1/5 + 1/20.

глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов. Была представлена в виде суммы аликвотных дробей: 63/64 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

Т АКИЕ ДРОБИ ИМЕЛИ РАЗНЫЕ НАЗВАНИЯ, НО ВСЕ ВМЕСТЕ НАЗЫВАЛИСЬ АЛИКВОТАМИ. Вот несколько названий Некоторые дошли до нас 1 / 100- процент 1 / 1000-промилли 1 / 288-скрупулус 1 / 24-семиунция 1 / 8-сескунция

З АДАЧИ Можно найти такие пары дробей, разность которых равна их произведению? Приведём примеры: 4/5-4/9=36/45-25/45=16/45; 3/5-3/8=24/40-15/40=9/40=3*3/5*8; 1/3-1/4=4/12-3/12=1/12=1*1/3*4;

Р ЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ 1. Найдите сумму 1/10*11+1/11*12 +…+ 1/98*99+1/99*100=? Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму 1/1*2+1/2*3 +…+ 1/98*99+1/99*100=99/100;

И вычесть из неё сумму 1/1*2+1/2*3 +…+ 1/8*9+1/9*10=9/10 99/100-9/10?(99-90)/100=9/100= Найдите сумму. 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+ 1/72+1/90=? b) 10/11; c)4/5; d)8/9; e)9/10. 1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+1/5*6+1/6*7+1/7*8+1 /8*9+1/9*10=9/10 Ответ: е)

1. Найдите сумму: 1/15+1/14*15+1/13*14+1/12*13+1/11*12 Решение: Для решения воспользуемся формулой (2) 1/14*15=1/14-1/15, 1/13*14=1/13-1/14, и т.д. Т.е. получим: 1/15+1/14-1/15+1/13-1/14+1/12-1/13+1/11-1/12=1/11 2. Найдите сумму: 1/17+2/15*17+2/13*15+2/11*13+2/9*11+2/7*9+2/5*7+2/3*5 Решеие: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи 2/15*17=1/15-1/17, и т.д. Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ 1/3

Дроби в Древнем Египте Часть папируса Ахмеса Задача «о хлебах » Разделить 7 хлебов между 8 людьми. РЕШЕНИЕ:

ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1.Олжас, Нуртас и Алмас купили 2 дыни. Как не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну? Решение: По условию задачи 2 дыни нужно разделить на 3 равные части. 2/3*2/2=4/6=3/6+1/6=1/2+1/6 Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по 1/6 дыни. Ответ: половинка дыни и 1/6 дыни

В ЫВОД О ПРОДЕЛАННОЙ РАБОТЕ Таким образом, при разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. Аликвотные дроби пригодятся нам для изучения на уроках математики и для доп. занятий (5-8 кл)

С ПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !