Прямая общего и частного положения Студент группы ФТЭС 2-2 Румянцевой Е.А.

Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные точки А и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В x П 2 П 1 O Пространственная картина А 2 В 2 А 1 B 1 A B m

m 2 m 1 x Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций точек: горизонтальная проекция прямой m 1 – через А 1 и В 1 ; фронтальная проекция прямой m 2 – через А 2 и В 2 x А 2 А 1 B 2 B 1 Пространственная картина Комплексный чертеж П 2 П 1 O A А 2 А 1 B B 1 m В 2 m 2 m 1

Для построения профильной проекции прямой на безосном чертеже проводят постоянную чертежа k под углом 45. С ее помощью по линиям связи получают профильную проекцию прямой А 3 В 3, положение которой определяется разностями координат z и y k B 3 А 3 45 Безосным называется чертеж, на котором отсутствуют оси проекций А 2 А 1 B 2 45 y y z B 1

П 1 x П 2 П 3 Метрические характеристики отрезка: н.в. – натуральная величина отрезка; – угол наклона отрезка к плоскости П 1 ; – угол наклона отрезка к плоскости П 2 ; – угол наклона отрезка к плоскости П 3 А 2 B B 1 В 2 А 1 A В 3 А 3 Н.в. z y

На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций А 2 А 1 B 2 B 1 B 3 k А 3

У прямой частного положения на комплексном чертеже определяются натуральные величины каких-либо ее характеристик. Прямая уровня проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой она параллельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня: Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h П 1 Фронтальная прямая уровня (фронталь) f П 2 Профильная прямая p П 3 Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей прямой: Горизонтально проецирующая прямая П 1 Фронтально проецирующая прямая П 2 Профильно проецирующая прямая П 3

x П 2 П 1 Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости проекций П 1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А 2 В 2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизон-тали А 1 В 1, углы и изображаются в натуральную величину на П 1 Пространственная картина Комплексный чертеж x z=cons t h B A h 1 B 1 А 1 н.в. А 2 В 2 h 2 А 2 В 2 h 2 B 1 А 1 h 1

Пространственная картина Комплексный чертеж x y=cons t П 1 x П 2 B н.в. f A B 1 А 1 f 1 А 2 В 2 f 2 f 1 А 2 В 2 f 2 B 1 А 1 Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П 2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А 1 В 1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А 2 В 2, углы и изображаются в натуральную величину на П 2

Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций П 3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А 1 В 1 и фронтальная А 2 В 2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А 3 В 3, углы и имеют натуральную величину на П 3 Пространственная картина Комплексный чертеж z O x y1y1 y3y3 x=cons t П 1 x П 2 П 3 B A н.в. В 3 р x=const А 2 В 2 р 2 B 1 А 1 р 1 А 3 р 3 А 1 B 1 р 1 А 2 В 2 р 2 А 3 р 3 В 3 z y

x н.в. Пространственная картина Комплексный чертеж x П 2 A B В 2 А 2 B 1 (А ) 1 А 2 В 2 1 B 1 (А ) П 1 Прямая перпендикулярна П 1, поэтому ее горизонтальная проекция А 1 В 1 вырождается в точку. Относительно П 2 и П 3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А 2 В 2 перпендикулярна оси координат х

Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 и параллельна П 1 и П 3. Фронтальная проекция А 2 В 2 вырождается в точку. На П 1 и П 3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А 1 В 1 перпендикулярна оси координат х Пространственная картина Комплексный чертеж x П 2 П 1 A B x н.в. B 1 А 1 А 2 (В ) 2 А 2 (В ) 2 B 1 А 1

Прямая перпендикулярна П 3, ее профильная проекция А 3 В 3 вырождается в точку. Относительно П 1 и П 2 прямая параллельна, на этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны осям y и z, соответственно Пространственная картина Комплексный чертеж П 1 x П 2 П 3 B A x z y1y1 y3y3 н.в. B 1 А 1 B 3 (A ) 3 O B 2 А 2 А 1 B 1 А 2 В 2 (А ) 3 В 3 z y

П 2 П 1 x П 4 x1x1 А В Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П 2 на новую плоскость проекций П 4, которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 1 (координата z ) остается неизменным П1П1 П4П4 x1x1 А4А4 zАzА zАzА zАzА zАzА А 4 В 4 А В н.в. В 1 А 1 В 2 А 2 Схема: П 2 П 4 z П4 = z П2 П 4 П 1 П 4 П 1 =x 1 П1П1 П2П2 А1А1 А2А2 x

x2x2 П2П2 П5П5 П 2 П 1 П 5 x x2x2 В 2 А 2 В 1 А 1 н.в. yАyА yАyА А 5 В 5 В А Схема: П 1 П 5 y П5 = y П1 П 5 П 2 П 5 П 2 =x 2 А5А5 yАyА yАyА П1П1 П2П2 А1А1 А2А2 x Заменим исходную горизонтальную плоскость проекций П 1 на новую плоскость проекций П 5, которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 2 (координата у ) остается неизменным

П1П1 x П2П2 А1А1 B1B1 А2А2 B2B2 Определение н.в. отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (способ замены плоскостей проекций) Определение н.в. отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (способ замены плоскостей проекций) Ось х 1 новой плоскости проекций П 4 проведем параллельно горизон-тальной проекции отрезка А 1 В 1. В этом преобразовании сохраняются z-координаты точек. На П 4 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П 1 x1x1 П4П4 П1П1 А4А4 В4В4 н.в. Схема: П1П1 П4П4 x1x1 А4А4 zАzА zАzА П1П1 П2П2 А1А1 А2А2 x

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций x2x2 П2П2 П5П5 А5А5 yАyА yАyА П1П1 П2П2 А1А1 А2А2 x x А1А1 B1B1 А2А2 B2B2 П2П2 П1П1 x1x1 П4П4 П1П1 А4А4 В4В4 н.в. x2x2 П2П2 П5П5 А5А5 В5В5 н.в. Схема: П1П1 П4П4 x1x1 А4А4 zАzА zАzА П1П1 П2П2 А1А1 А2А2 x Ось х 2 новой плоскости проекций П 5 проведем параллельно фронталь-ной проекции отрезка А 2 В 2. В этом преобразовании сохраняются y - координаты точек. На П 5 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П 2

x А 1 B 1 А 2 В 2 l 2 A 1 A 2 н.в. l 1 Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: А 1 А 2 П1П1 П2П2 x А1А1 А2А2 i1i1 i2i2 Для упрощения горизонтально-проецирующую ось вращения l проводят через точку В, которая остается неподвижной. Точка А 1 описывает дугу окружности с центром в точке l 1 так, чтобы В 1 А 1 оси х. Тогда прямая АВ займет положение фронтали. На П 2 угол и отрезок АВ не искажаются

x н.в. l 2 А 1 B 1 А 2 В 2 A 1 A 2 н.в. i 1 B 2 i 2 B 1 l 1 Схема: А 1 А 2 П1П1 П2П2 x А1А1 А2А2 i1i1 i2i2 А 1 А 2 П1П1 П2П2 А1А1 А2А2 x i1i1 i2i2 Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Для определения угла прямую АВ нужно вращать вокруг оси i П 2 до положения горизонтали. Ось проходит через точку А, которая неподвижна. Точка В 2 вращается по дуге окружности с центром в точке i 2 до положения В 2 А 2 оси х. На П 1 угол и отрезок АВ не искажаются

x А 1 B 1 А 2 В 2 Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Данный отрезок АВ занимает общее положение, преобразуем его во фронтальную прямую уровня путем перемещения концов отрезка по горизонтальным плоскостям уровня согласно схемы А 1 А 2 А1А1 П1П1 П2П2 А2А2 x Схема: Г2Г2

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций x н.в. A 2 B 2 A 1 В 1 А 1 B 1 А 2 В 2 А 1 А 2 А1А1 П1П1 П2П2 А2А2 x Схема: Г2Г2 Г2Г2 Г2Г2 Горизонтальную проекцию прямой ( А 1 В 1 А 1 В 1 ) располагают параллель-но оси х. Фронтальную проекцию (определяющую н.в. отрезка и угла ) задают новые проекции точек А 2 и В 2, расположенные на соответствую-щих следах горизонтальных плоскостей уровня Г(Г 2 ) и Г(Г 2 )

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций н.в. A 1 x А 1 B 1 А 2 В 2 A 2 н.в. B 2 В 1 А 1 А 2 А1А1 П1П1 П2П2 А2А2 x Схема: Г2Г2 А 2 А 1 А1А1 П1П1 П2П2 А2А2 x Ф1Ф1 А 2 B 2 Ф1Ф1 Ф1Ф1 B 1 А 1 Г2Г2 Г2Г2 Для перевода прямой в положение горизонтали фронтальную проекцию прямой ( А 2 В 2 А 2 В 2 ) располагают параллельно оси х. Новые проекции точек А 1 и В 1 расположены на соответствующих следах фронтальных плоскостей уровня Ф(Ф 1 ) и Ф (Ф 1 ). На П 1 имеем н.в. отрезка и угла

x П 1 П 2 Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку B A B 1 А 1 А 2 В 2 D C D 1 D 2 C 2 K C 1 K 1 K 2 x А 1 А 2 В 2 B 1 D 2 C 2 C 1 D 1 K 2 K 1 АВ СD = K(К 1, К 2 ) А1 В1 С1 D1 = K1 А2 В2 С2 D2 = K2 Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересечения соответствующих проекций прямых: на П 1 - это точка К 1 ; на П 2 - точка К 2. Точки пересечения К 1 и К 2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи

x П 1 П 2 Параллельные прямые не имеют общих точек Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости n m m 1 n 1 m 2 n 2 x m 2 n 1 n 2 m 1 m n m1 n1 m2 n2

x Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т.к. пря- мые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т.к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки, принадлежащие разным прямым П 1 П 2 m 1 m 2 n 2 m n m1 n1 m2 n2 m n m 1 x n 1 m 2 n (1 ) 2 n

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А 1 В 1 в точке М 1. Через точку М 1 проведем прямую М 1 N 1 В 1 C 1. Т. к. BC П 1, то BC В 1 С 1. Значит, М 1 N 1 ВС и BM 1 N 1 = 90. По теореме о 3-х перпендикулярах B 1 M 1 N 1 = 90, следовательно, и A 1 В 1 С 1 = 1 = 90 BC П BC П 1 АВ П АВ П 1 ; B x П 1 y A B 1 А 1 C C 1 М 1 N 1 1 = 90 = 90 1 = =90 1 = =90 Дано: Доказать:

b 2 b 1 h 2 h 1 x н.в. Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина Одна из сторон прямого угла является горизонталью ( h П 1 ), поэтому на П 1 угол будет прямым. На П 2 показаны возможные положения фронтальной проекции прямой общего положения b b1h1b1h1 b h = 90 b h = 90 Дано:

x f 1 f 2 С 1 C 2 D 1 н.в. Задача: Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки С к прямой f D 2 D 2 D D 2 D 1 C 2 D 2 f C 2 D 2 f 2 D 1 C D 1 C 1 Прямая f является фронталью и проецируется на П 2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С 2 D 2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f. Определяем основа- ние перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С 1 D 1

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций П1П1 П2П2 x l2l2 А1А1 l1l1 А2А2 l4l4 А4А4 н.в. П1П1 П4П4 x1x1 К4К4 Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция искомого расстояния А 4 К 4 l 4 определяется на плоскости проекций П 4 1. П 4 П ПП П1 П4 l

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций П1П1 П2П2 x l2l2 А1А1 l1l1 А2А2 П4П4 П5П5 x2x2 l4l4 А4А4 н.в. П1П1 П4П4 x1x1 К4К4 К1К1 К2К2 l5l5 А5А5 К5К5 1. П 4 П 1 П 4 l П 4 l 2. П5 П4 П П5 l ll l АК- искомое расстоян ие При втором преобразовании введем новую плоскость проекций П 5 перпендикулярно прямой l так, чтобы прямая заняла проецирующее положение. На П 5 определяем натуральную величину А 5 К 5 перпендикуляра АК