«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

Б. Паскаль П. Ферма Х. Гюйгенс Основатели теории вероятностей Я. Бернулли С. Н. БернштейнА. Н. Колмогоров

Решите задачи (устно): В урне 25 шаров, 13 из которых – белые. Какова вероятность, что случайно взятый из урны шар будет белым? В фирме «Такси» в данный момент свободны 2 черных, 5 белых и 7 желтых машины. Найдите вероятность, что к заказчику приедет белое такси. На экзамене по биологии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос о клетке. Найдите вероятность того, что наугад выбранный билет содержит вопрос о клетке.

I группа « Несовместные события». События A и B называются несовместными, если в результате испытания они никогда не могут наступить вместе. Теорема сложения. Вероятность (P) суммы двух несовместных случайных событий A и B равна сумме их вероятностей: P(A + B) = P(A) + P(B).

Задача 1 Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение Пусть A - «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В - «чайник прослужит больше двух лет», С - «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С - «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года - строго в тот же день, час и секунду - равна нулю. Тогда: P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B), 0,93 = P(A) + 0,87. P(A) = 0,93 0,87 = 0,06. Ответ: 0,06.

Задача 2 Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля. Решение Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A -батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В - батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: Ответ: 0,0296.

Задача 3 Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17. Решение. Рассмотрим события A - «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В -«в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма событие A + B - «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). 0,82 = 0,51 + P(В), P(В) = 0,82 0,51 = 0,31. Ответ: 0,31.

II группа « Совместные события » Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же опыте. Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления P (A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же опыте. Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления P (A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Задача 1 В торговом центре два разных автомата продают кофе. Вероятность того, к концу дня закончится кофе в первом автомате, равна 0,32, что закончится кофе во втором автомате – 0,24. Вероятность того, что закончится кофе в обоих автоматах, равна 0,133. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Обозначим через событие A - кофе закончится в первом автомате, а через B - кофе закончится во втором автомате. Эти события не являются независимыми по условию, так как вероятность их произведения не равна произведению вероятностей. События совместные, тогда вероятность суммы двух событий A и B равна P (A+B)=P(A)+P(B)P(AB)= = P (A+B) = P(A)+P(B)P(AB)= = Искомая вероятность равна = Ответ

Задача 2 Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку 0,8, по иностранному языку 0,7 и по обществознанию 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Решение: Вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику - P1= = Вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию -P2= =0.24. Вероятность успешно сдать экзамены на обе специальности - P3= = Успешная сдача на одну и на вторую специальность - события совместные. Тогда вероятность их суммы определяется суммой вероятности каждого минус вероятность их произведения. P=P1+P2P3= Ответ

Задача 3 На экзамен пришли 2 студента. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, составляет 0,9. Вероятность того, что второй студент сдаст экзамен 0,8. Какова вероятность того, что хотя бы один из них экзамен сдаст? Решение. Пусть событие A заключается в том, что первый студент сдаст экзамен, а событие B второй студент сдаст экзамен. В задаче требуется найти вероятность суммы событий A + B, причем эти события совместны, так как возможна ситуация, когда оба студента сдадут экзамен. Используя формулу для вероятности суммы совместных событий и предполагая независимость этих событий (что вполне естественно), имеем:. Ответ: 0,98.

III группа «Независимые события» Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача 1 Вероятность того, что Катя решит задачу, равна 0,8; а вероятность того, что её решит Антон – 0,7. Найти вероятность того, что задачу решат оба ученика. Решение Обозначим события – Катя решит задачу; B – Антон решит задачу. По условию вероятности этих событий соответственно равны P(A) = 0,8 и P(B) = 0,7. События A и B – независимы. Тогда, по следствию из теоремы умножения, вероятность того, что задачу решат оба ученика, равна: P(AB)=P(A)P(B) Ответ: 0,56..

Задача 2 Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна ; второго ; третьего. Найти надежность прибора в целом. Решение. Обозначая: A – Безотказная работа приборов, A1 - безотказная работа первого узла, A2 - безотказная работа второго узла, A3 - безотказная работа третьего узла, имеем: откуда по теореме умножения для независимых событий. Ответ: 0,504.

Задача 3 В первой урне находятся 7 белых и 4 черных шара, во второй 6 белых и 3 черных шара. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые? Решение. Пусть событие A «из первой урны извлечен белый шар», событие В «из второй урны извлечен белый шар», тогда событие АВ «оба шара белые». Вероятности этих событий:, События A и B независимы, применив теорему умножения, получим Ответ:

IV группа «Зависимые события» Событие A называется зависимым от события B, если вероятность появления события A зависит от того, произошло или не произошло событие B. Вероятность появления события A при условии, что событие B произошло, называется условной вероятностью события A и вычисляется по формуле:

Задача 1 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х - хорошая, О - отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0, , , ,128 = 0,392. Ответ: 0,392.

Задача 2 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение. Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

V группа «Классическая схема вероятности» КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Задача 1 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение

Задача 2 В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман P 1 = 2/6 * 4/5 * 3/4 = 1/5 «5» «1» «1» P 2 =4/6 * 2/5 * 3/4 = 1/5 «1» «5» «1» P 3 =4/6 * 3/5 * 2/4 = 1/5 «1» «1» «5» P = P 1 + P 2 + P 3 = 3/5 = 0,6

Задача 3 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение Количество всех событий: 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов Количество благоприятных событий:

Самостоятельная работа 1 вариант 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. 2. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 15 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 2 вариант 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых 2. В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задача. Если на географической карте мира выбрать случайную точку, то какова вероятность того, что эта точка окажется Сирией?

Вопрос группам. Допустим, в некоторой ограниченной области Ѱ случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область A? На прямую L? L A Ѱ

«Геометрическая вероятность»

Задача 1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства |x5|2. Какова вероятность, того что это решение окажется решением неравенства |x2|13? Решение |x5| 2 37 |x2|

Общее правило поиска геометрической вероятности: если длину l(A) промежутка A разделить на длину промежутка Х, который целиком содержит промежуток А, то получится вероятность того, что точка, случайно выбранная из промежутка Х, попадет в промежуток А:.

Закрепление изученного материала Пример 1. Пусть на отрезок длины 1 бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три отрезка. Какова вероятность, что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник?

Пример 2. В квадрат с вершинами (0;0), (1;0), (1; 1), (0;1) наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству.

1 группа. Задача. В треугольник со сторонами вписан круг. Точка M произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг. Решение.,.

2 группа Дано: AB = 12 см, AM = 2 см, MC=4 см. На отрезке AB случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность того, что точка X попадет на отрезок: 1) AM; 2) AC; 3) MC; 4)MB; 5) AB? Решение AMCB 1. Событие A – точка X попадает на отрезок AM. AM = 2 см, AB = 12 см, 2. Событие B – точка X попадает на отрезок AC, AC= 2 см+4 см = 6 см, 3. Событие С - точка X попадает на отрезок MC, MC=4 см, AB = 12 см, 4. Событие D – точка X попадает на отрезок MB, MB = 12 см – 2 см = 10 см, 5. Событие E- точка X попадает на отрезок AB,

3 группа Задача. Студенты случайным образом приходят в столовую с до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится. Решение Оля и Коля могут встретиться в течение 60 минут. Площадь квадрата соответствует общему числу исходов. Рассмотрим противоположные события: A – Оля и Коля встретятся во время обеда; – встреча не состоится. Вычислим суммарную площадь двух треугольников: данное значение благоприятствует событию. P

4 группа Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10 см; б) 5 см? а).. б),

5 группа Задача Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

Домашнее задание Задание 1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга. Задание 2. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга. Задание 3 Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. В решетку 100 раз бросили один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча. Задание 4. Подготовить презентацию задачи Ж. Бюффона (задача о бросании иглы на разграфленную плоскость).

Спасибо за сотрудничество !