Автор: Шиенков Даниил Учащийся группы 215-2

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке г – 1716 г

y=kx k = x y = противолежащий катет прилежащий катет = tg a a y x y x o

k = tg a k – угловой коэффициент прямой а –угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс a x o a y

y=f(x) a x y x M B C A x+h f(x) f(x+h) f(x+h) – f(x) h k(h) = tg < MAC = MC AC = f(x+h) – f(x) xx+h – a o

y=f(x) a x y x M B CA x+h f(x) f(x+h) f(x+h) – f(x) h Если h0, тогда МА Прямая MA стремиться занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции y=f(x)

f(x+h) – f(x) xx+h – = lim k (h ) f ' (x) k =tg a f ' (x)= h0 Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

k =tga = f'(x ) < 0 k =tga = f'(x ) = 0 k =tga = f'(x ) > 0 Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует.

y=f(x) x0x0 y x B М f(x 0 ) a o Выведем уравнение касательной к графику дифференцированной функции в точке (х 0 ; f(x 0 ))

y=kx +b k =tg a f ' (x)= y=f' (x 0 )x+ b Т.к. касательная проходит через точку с координатами (х 0 ; f(x 0 )), подставим ее координаты в уравнение (2) и найдем b (1) (2) f(x 0 )=f' (x 0 )x 0 + bb =f(x 0 ) – f' (x 0 )x 0 Подставьте в уравнение (2) значение b и сделав соответствующие преобразования получите: у = f(x 0 ) + f '(x 0 )(х – х 0 )

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х 0 1. f(x 0 ) – находим значение функции в данной точке 2. f '(x) – находим производную данной функции 3.f'(x 0 ) - находим значение производной функции в данной точке 4. Подставляем данные в уравнение касательной к графику функции у = f(x 0 ) + f '(x 0 )(х – х 0 )