гетероскедастичность лекция 13

2 Цели лекции Природа проблемы гетероскедастичности Последствия гетероскедастичности Средства обнаружения гетероскедастичности Средства для решения или смягчения проблемы гетероскедастичности

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ Ортогональность – ошибки некоррелированный с регрессорами Сферичность – ошибки независимы, случайны Нормальность – ошибки распределены нормально с нулевым средним Идентичность – ошибки одинаково распределены ВЫПОЛНЕНИЕ ЭТИХ УСЛОВИЙ- ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ Гетероскедастичность – это неоднородность наблюдений. Она характеризуется тем, что не выполняется предпосылка 2 0 использования МНК: Выполнимость предпосылки 2 0 называется гомоскедастичностью.

5 ИЛЛЮСТРАЦИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

6 ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ ОШИБОК Причиной непостоянства дисперсии эконометрической модели часто является ее зависимость от масштаба рассматриваемых явлений. В модель ошибка входит как аддитивное слагаемое. В то же время часто она имеет относительный характер и определяется по отношению к измеренному уровню рассматриваемых факторов.

7 ПРИМЕР (зависимость выпуска промышленного сектора от ВВП в 2000 г. по странам) y x

8 Примеры моделей с гетероскедастичным случайным членом а)в)б) а) Дисперсия 2 растет по мере увеличения значений объясняющей переменной X б) Дисперсия 2 имеет наибольшие значения при средних значениях X, уменьшаясь по мере приближения к крайним значениям в) Дисперсия ошибки наибольшая при малых значениях X, быстро уменьшается и становится однородной по мере увеличения X

9 ИСТИННАЯ И ЛОЖНАЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ 1. Истинная гетероскедастичность Вызывается непостоянством дисперсии случайного члена, ее зависимостью от различных факторов. 2. Ложная гетероскедастичность Вызывается ошибочной спецификацией модели регрессии.

10 Источники гетероскедастичности – 1 Истинная гетероскедастичность возникает в перекрестных выборках при зависимости масштаба изменений зависимой переменной от некоторой переменной, называемой фактором пропорциональности (Z).

11 Источники гетероскедастичности – 1 Наиболее распространенный случай истинной гетероскедастичности – 1: дисперсия растет с ростом одного из факторов.

12 Источники гетероскедастичности – 2 Истинная гетероскедастичность возникает также и во временных рядах, когда зависимая переменная имеет большой интервал качественно неоднородных значений или высокий темп изменения (инфляция, технологические сдвиги, изменения в законодательстве, потребительские предпочтения и т.д.).

13 Гетероскедастичность как следствие ошибки спецификации модели. Пример Если вместо истинной (гомоскедастичной) модели используется линейная модель, то дисперсия остатков линейной модели пропорциональна квадрату переменной X j :

20 Гетероскедастичность как следствие ошибки спецификации модели. Пример

15 Гетероскедастичность простейшего вида Мы в дальнейшем будем рассматривать, главным образом, только гетероскедастичность простейшего вида:

16 СЛЕДСТВИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ 1. Истинная гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии 2. Стандартные ошибки коэффициентов (вычисленные в предположении. гомоскедастичности) будут занижены. Это приведет к завышению t-статистик и даст неправильное (завышенное) представление о точности оценок.

17 ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае – довольно сложная задача. Для знания необходимо знать распределение случайной величины Y/X=x i. На практике часто для каждого конкретного значения x i известно лишь одно y i, что не позволяет оценить дисперсию случайной величины Y/X=x i. Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности.

18 Предварительная работа: 1. Нет ли очевидных ошибок спецификации? 2. Можно ли содержательно предполагать какой-то вид гетероскедастичности? 3. Рассмотрение графиков остатков: ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

In the scatter diagram manufacturing output is plotted against GDP, both measured in U.S. $ millions, for 30 countries for (Data are from the UNIDO Yearbook. The sample is restricted to countries with GDP at least $10 billion and GDP per capita at least $2000.) The scatter diagram is dominated by the observations for Japan and the USA and it is difficult to detect any kind of pattern. 17 Japan USA ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

However it those two countries are dropped and the scatter diagram rescaled, a clear picture of heteroscedasticity emerges. The reason for the heteroscedasticity is that variations in the size of the manufacturing sector around the trend relationship increase with the size of GDP. 19 South Korea Mexico ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

Singapore and Greece are another pair of countries with relatively large and small manufacturing sectors. However, because the GDP of both countries is small, their variations from the trend relationship are also small. 21 Singapore Greece ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

22 Тесты: 1. Тест ранговой корреляции Спирмена. 2. Тест Парка. 3. Тест Глейзера. 4. Тест Голдфелда-Квандта. 5. Тест Уайта. 6. Тест Бреуша-Пагана. ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

23 ТЕСТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПИРМЕНА При использовании данного теста предполагается, что дисперсии отклонений остатков будут монотонно изменяться (увеличиваться или уменьшаться) с увеличением фактора пропорциональности Z. Поэтому значения e i и z i будут коррелированы (возможно, нелинейно!).

24 ТЕСТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПИРМЕНА. Алгоритм применения 1. Рассчитываются ранги (порядковые номера) значений фактора пропорциональности z i = x ik. 2. Рассчитывается уравнение и вычисляются остатки. 3. Рассчитываются ранги остатков e i.

25 ТЕСТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПИРМЕНА. Алгоритм применения 4. Рассчитывается коэффициент ранговой корреляции Спирмена, D i – разность рангов z и e. 5. Рассчитывают статистику, распределенную нормально N(0,1) при отсутствии гетероскедастичности.

ТЕСТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПИРМЕНА. spearman gdppop resid Number of obs = 28 Spearman's rho = Test of Ho: gdppop and resid are independent Prob > |t| =

27 ТЕСТ ПАРКА Здесь предполагается, что дисперсии связаны с фактором пропорциональности Z в виде: Т.к. дисперсии неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений e i 2.

28 ТЕСТ ПАРКА. Алгоритм применения 1. Строится уравнение регрессии: и вычисляются остатки. 2. Выбирается фактор пропорциональности Z и оценивают вспомогательное уравнение регрессии: 3. Проверяют значимость коэффициента при

29 ТЕСТ ГЛЕЙЗЕРА Здесь предполагается, что дисперсии связаны с фактором пропорциональности Z в виде: Т.к. средние квадратические отклонения неизвестны, то их заменяют модулями оценок отклонений.

30 ТЕСТ ГЛЕЙЗЕРА. Алгоритм применения 1. Строится уравнение регрессии: и вычисляются остатки. 2. Выбирается фактор пропорциональности Z и оценивают вспомогательное уравнение регрессии: Изменяя, строят несколько моделей: 3. Статистическая значимость коэффициента 1 в каждом случае означает наличие гетероскедастичности. 4. Если для нескольких моделей будет получена значимая оценка 1, то характер гетероскедастичности определяют по наиболее значимой из них.

31 ТЕСТЫ ПАРКА и ГЛЕЙЗЕРА. Выводы Отметим, что как в тесте Парка, так и в тесте Глейзера для отклонений i может нарушаться условие гомоскедастичности. Однако, во многих случаях используемые в тестах модели являются достаточно хорошими для определения гетероскедастичности.

32 ТЕСТ БРЕУШ-ПАГАНА Тест применим в предположении, что: Дисперсии зависят от некоторых дополнительных переменных :

33 ТЕСТ БРЕУШ-ПАГАНА. Алгоритм применения 1. Строится уравнение регрессии: и вычисляются остатки: 2. Вычисляют оценку дисперсии остатков: 3. Строят вспомогательное уравнение регрессии:

34 ТЕСТ БРЕУШ-ПАГАНА. Алгоритм применения 4. Для вспомогательного уравнения регрессии определяют объясненную часть вариации RSS. 5. Находим тестовую статистику: 6. Если верна гипотеза H 0 : гомоскедастичность остатков, то статистика BP имеет распределение. Т.е. о наличии гетероскедастичности остатков на уровне значимости свидетельствует:

35 ТЕСТ БРЕУШ-ПАГАНА. Замечания При не существует естественного преобразования, корректирующего гетероскедастичность При гетероскедастичность может быть скорректирована:

ТЕСТ БРЕУШ-ПАГАНА. bpagan gdppop gdp pop Breusch-Pagan LM statistic: Chi-sq( 3) P-value =.1181 var(y) = s^2 exp( b1z1 + b2z bkzk)

37 ТЕСТ ГОЛДФЕЛДА-КВАНДТА В этом тесте предполагается: 1. Стандартные отклонения остатков пропорциональны фактору пропорциональности Z, т.е. 2. Случайный член имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков (предпосылка 3 0 ).

38 ТЕСТ ГОЛДФЕЛДА-КВАНДТА. Алгоритм применения 1. Выделяют фактор пропорциональности Z = X k. Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины Z. 2. Отбрасывают среднюю треть упорядоченных наблюдений. Для первой и последней третей строятся две отдельные регрессии, используя ту же спецификацию модели регрессии. 3. Количество наблюдений в этих подвыборках должно быть одинаково. Обозначим его l.

39 ТЕСТ ГОЛДФЕЛДА-КВАНДТА. Алгоритм применения 4. Берутся суммы квадратов остатков для регрессий по первой трети RSS 1 и последней трети RSS 3. Рассчитывают их отношение: 5. Используем F-тест для проверки гомоскедастичности. Если статистика GQ удовлетворяет неравенству то гипотеза гомоскедастичности остатков отвергается на уровне значимости.

40 ТЕСТ ГОЛДФЕЛДА-КВАНДТА. Замечание Тест Голдфелда-Квандта применим и для случая обратной пропорциональности: При этом используется та же процедура, но тестовая статистика равна:

13 RSS 2 = 13,518,000,000 RSS 1 = 157,000,000 ТЕСТ ГОЛДФЕЛДА-КВАНДТА Пример.

11 RSS 2 = 13,518,000,000 RSS 1 = 157,000,000 ТЕСТ ГОЛДФЕЛДА-КВАНДТА Пример.

43 ТЕСТ УАЙТА Предполагается, что дисперсии связаны с объясняющими переменными в виде: где f( ) – квадратичная функция от аргументов. Т.к. дисперсии неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений e i 2.

44 ТЕСТ УАЙТА. Алгоритм применения (на примере трех переменных) 1. Строится уравнение регрессии: и вычисляются остатки. 2. Оценивают вспомогательное уравнение регрессии:

45 3. Определяют из вспомогательного уравнения тестовую статистику 4. Проверяют общую значимость уравнения с помощью критерия 2. Если то гипотеза гомоскедастичности отвергается. Число степеней свободы k равно числу объясняющих Переменных вспомогательного уравнения. В частности, Для рассматриваемого случая k = 9. ТЕСТ УАЙТА. Алгоритм применения (на примере трех переменных)

46 ТЕСТ УАЙТА. Замечания Тест Уайта является более общим чем тест Голдфелда-Квандта. Неудобство использования теста Уайта: Если отвергается нулевая гипотеза о наличии гомоскедастичности то неясно, что делать дальше.

ТЕСТ УАЙТА. white White's test for Ho: homoscedasticity against Ha: unrestricted heteroscedasticity test statistic W = Pr(chi2(2) > W) =

48 КОРРЕКЦИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ 1. Использовать обобщенный метод наименьших квадратов. 2. Переопределить переменные. 3. Вычисление стандартных ошибок с поправкой на гетероскедастичность (метод Уайта).

49 ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции остатков рекомендуется вместо традиционного МНК использовать обобщенный МНК. Его для случая устранения гетероскедастичности часто называют методом взвешенных наименьших квадратов. Основан на делении каждого наблюдаемого значения на соответствующее ему стандартное отклонение остатков. Метод применим, если известны дисперсии для каждого наблюдения.

50 МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Случай парной регрессии Получили уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной Z и с «преобразованным» остатком. Можно показать, что для него выполняются предпосылки 1 0 – 5 0 МНК.

51 На практике, значения дисперсии остатков, как правило, не известны. Для применения метода ВНК необходимо сделать реалистичные предположения об этих значениях. Например: Дисперсии пропорциональны X i : Дисперсии пропорциональны X i 2 : МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Случай парной регрессии

52 Конец лекции