Аналіз програми 9 класу з теми «Геометричні перетворення»: 12 Тема 5. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ Переміщення (рух) та його властивості Симетрія відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення Рівність фігур Перетворення подібності та його властивості Подібність фігур. Площі подібних фігур Учень/учениця: наводить приклади: фігур та їх образів при геометричних перетвореннях, указаних у змісті; фігур, які мають центр симетрії, вісь симетрії; рівних і подібних фігур пояснює, що таке: переміщення (рух); образ фігури при геометричному переміщенні; фігура, симетрична даній відносно точки (прямої); симетрія відносно точки (прямої); паралельне перенесення; поворот; рівність фігур; перетворення подібності; подібність фігур формулює: означення: рівних фігур; подібних фігур; властивості: переміщення; симетрії відносно точки (прямої); паралельного перенесення; повороту; перетворення подібності; теорему про відношення площ подібних многокутників зображує і знаходить на малюнках фігури, в які переходять дані фігури при різних видах переміщень та перетворенні подібності обчислює довжини відрізків у подібних фігурах, площі подібних фігур обґрунтовує: симетричність двох фігур відносно точки (прямої); наявність у фігури центра (осі) симетрії; рівність фігур із застосуванням переміщень; подібність фігур доводить: властивості: симетрії відносно точки (прямої); паралельного перенесення; повороту; перетворення подібності; теорему про відношення площ подібних трикутників застосовує вивчені означення й властивості до розвязування задач К-ть год Зміст навчального матеріалуДержавні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учня

Переміщенням (або рухом) називається перетворення фігури, внаслідок якого зберігаються відстані між точками даної фігури. Дві фігури називаються рівними, якщо вони суміщаються переміщенням Властивості переміщення: два послідовні переміщення знову дають переміщення; перетворення, обернене до переміщення також є переміщення; внаслідок переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і порядок їх взаємного розміщення зберігається; при переміщенні прямі переходять у прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки; внаслідок переміщення зберігаються кути між променями.

Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя ОА на відстань а називається таке перетворення фігури F у фігуру F /, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х / фігури F / так, що промені ХХ / і ОА співнапрямлені і ХХ / =а О А Х Х/Х/ Основна властивість паралельного перенесення: паралельне перенесення є переміщенням У прямокутній системі координат паралельне перенесення, яке переводить точку (х;у) в точку (х 1 ; у 1 ), задається формулами х 1 =х+а; у 1 =у+b, де a і b – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

Перетворенням фігури F у фігуру F / називається така відповідність, при якій: 1) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F / ; 2)кожній точці фігури F / відповідає деяка точка фігури F; 3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F /. Фігура F / називається образом фігури F для даного перетворення. А А1А1 В Х Х1Х1 В1В1 О А В А1А1 В1В1 Х Х1Х1

При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе); промінь переходить у співнапрямлений промінь. При паралельному перенесенні точки переміщуються вздовж паралельних прямих (або однієї прямої) на ту саму відстань

Перетворенням симетрії (осьовою симетрією) відносно прямої m називаєть таке перетворення фігури F у фігуру F 1, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х 1 фігури F 1, симетричну Х відносно прямої m. Основна властивість осьової симетрії: Осьова симетрія є переміщенням

Осьова симетрія перетворює пряму на пряму; відрізок - на відрізок; многокутник на рівний йому многокутник. Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе. А1А1 А В В1В1 Основна властивість осьової симетрії: Осьова симетрія є переміщенням С Точки А і А 1 називають симетричними відносно прямої m, якщо пряма m є серединним перпендикуляром відрізка АА1.

Якщо перетворення симетрії відносно прямої m переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої m, а сама пряма m – віссю симетрії фігури F.

Точки А і А 1 називають симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка АА 1. Основна властивість осьової симетрії: Осьова симетрія є переміщенням А А1А1 O Перетворенням симетрії (центральною симетрією) відносно точки О називається таке перетворення фігури F у фігуру F 1, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х 1 фігури F 1, симетричну Х відносно точки О. В В1В1 Р

Центральна симетрія перетворює пряму на паралельну їй пряму або в ту ж саму пряму; відрізок - на відрізок; многокутник на рівний йому многокутник. А1А1 А В В1В1 О

Фігуру називають симетричною відносно точки О, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки О, також належить цій фігурі. Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то така фігура називається центрально-симетричною, а точка О – центром симетрії фігури F. Центр кола є його центром симетрії Р Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії О

Поворотом фігури F навколо точки О на кут називається перетворення фігури F у фігуру F 1, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х 1 фігури F 1 так, що ОХ 1 =ОХ і ХОХ 1 =. Точку О називають центром повороту, а кут – кутом повороту. Основна властивість повороту: поворот є переміщенням. Тобто якщо фігура F 1 – образ фігури F при повороті, то F = F 1 O F F1F1 X X1X1

Якщо внаслідок повороту навколо деякої точки О фігура F переходить у себе, то кажуть, що ця фігура має поворотну симетрію (або симетрію обертання). Правильний шестикутник переходить у себе при поворотах на кути кратні 60 0 Правильний трикутник переходить у себе при поворотах на кути кратні

Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F 1, внаслідок якого відстані між точками змінюються в тому самому відношенні k (k>0). Число k>0 називають коефіцієнтом подібності. Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F 1, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х 1 фігури F 1 так, що точка Х 1 лежить на промені ОХ і OX 1 =kOX ( k – фіксоване додатне число). Відстані між точками змінюються в тому самому відношенні k (k>0). Число k>0 називають коефіцієнтом гомотетії, а самі фігури F і F 1 – гомотетичними O Х Х1Х1 F F1F1 Основна властивість гомотетії: гомотетія є перетворенням подібності.

При гомотетії: образом прямої є пряма; образом відрізка є відрізок; O Х Х1Х1 A A1A1

При гомотетії: образом кута є кут, який дорівнює даному; образом трикутника є трикутник, подібний даному; площа многокутника змінюється в k 2 разів, де k – коефіцієнт гомотетії. O Х Х1Х1 A A1A1 BB1B1

При гомотетії образом кола є коло O Х Х1Х1 A A1A1

Дві фігури називаються подібними, якщо одну з них можна отримати з іншої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії і руху O F F1F1 Подібність = гомотетія + рух Гомотетія – окремий випадок перетворення подібності