Автор : Преподаватель ГБПОУ КК СТТТ ИВАНКОВА НАДЕЖДА ПЕТРОВНА Автор : преподаватель математики ГБПОУ КК СТТТ Иванкова Надежда Петровна

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел.

R Q ZZ Z N

Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом. Алгебраическим выражением называется запись из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок, составленная со смыслом · (16 - 4) 240 : 12 – – 15 · 2 b · (3a + 6) 7x – 4y

Действия с рациональными числами Сложение дробей : Вычитание дробей : Умножение дробей : Деление дробей : Перестановка членов пропорции :,, Основное свойство дроби :

Решить самостоятельно: ,7 + 12,13 = 6. 7,2 · 0,3 = ,4 : 10 = 8. 2,8 + 23,5 · 10 = 9. 65,4 · (15,6 – 5,1)= 10. 3,5 · =

Решить самостоятельно: 1) 10 – 12 2) - 5 · 1,6 3) - 8 : 4) ,7 · (- 2) = - 2 = - 8 = - 28 = - 23 = 7,4 Положительные и отрицательные числа Положительные 1; 3,1; Отрицательные -3; -1,5 3,11-1,5-30

Задача: Картофеля нетто – 28 кг 860 г, брутто - 31 кг Решение: 28,86 – 31 = - 2,14 О чем говорит минус? Разница брутто и нетто. 2 кг 140 г – очистки картофеля. Задача: После переоценки свитер стоит 650 рублей. До уценки он стоил 1000 рублей? Найдите разницу стоимости? Что она значит? Решение: 650 – 1000 = -350 (рублей). Вывод: свитер уценили на 350 рублей.

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ Квадрат суммы а 2 + b 2 = а аb + b 2 Квадрат разности а 2 - b 2 = а аb + b 2 Разность квадратов (а - b) 2 = (а - b) (а + b) Куб суммы (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Куб разности (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Сумму кубов а 3 + b 3 = (а + b) (а 2 - аb + b 2 ) Разность кубов а 3 - b 3 = (а - b) (а 2 + аb + b 2 )

Раскройте скобки: 1.(x + 3 у) 2 2.(4 а -1) 2 3. (а + 3) (а а + 9) 4.(4x - 3y 2 ) (4x + 3 у 2 ) 5.(х - 2) (х х + 4) Решить самостоятельно:

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров. Вычислить: а) (50+1) 2 б) 49 2 Решение: а) Используем формулу квадрата суммы (50+1) 2 = · 50 · = = 2601 б) Используя формулу квадрата разности 49 2 = (50 – 1) 2 = · 50 · = 2500 – = 2401

Модуль числа Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число: |а| = а Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число : | а | = - а Можно записать: Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а). Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5 Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а| Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков: |0| = 0 Свойства модулей: |а| ? 0 |а · b| = |а| · |b| |а| n = а n, n є Z, a ? 0, n > 0 |а| = | - а| |а + b| ? |а| + |b| |а · q| = q · |а|, где q - положительное число |а| 2 = а 2 Значение |a - b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.

Решение задач : | - 2,8 | - | - 1,3 | = | - 3,3 | + | - 2,1 | = | - 11,5 | - | 7,9 | = | 12,8 | + | - 13,9 | = 3,6 5,4 1,5 26,7, т. к. < 0, т. к. Упростить выражение, если a < 0. Решение. Так как по условию а < 0, то |а| = -а. В результате получаем

Вычислить: Решение: Используя формулу разности квадратов

25 3 = (20 + 5) 3 = *20 2 * 5 + 3*20* = = 156,25 Вычислить: Решение : 25 3 = (20 + 5) 3 Вычислить: 58 3 = (60 - 2) 3

Выполнить действия : Выбрать один правильный ответ a) b) 9 c) d)

Выполнить действия : Выбрать один правильный ответ a) b) c) d)

Выполнить действия : Выбрать один правильный ответ a) b) c) d)

Выполнить действия : |-6| + |19| - |-12| Выбрать один правильный ответ a) 13 b) 25 c) 1 d) 37

Комплексные числа Комплексные числа, являются расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = a + bi, где a и b вещественные числа, i мнимая единица, для которой выполняется равенство i 2 = -1. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантов ой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа

Сравнение означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части). Сложение:. Вычитание:. Умножение:. Деление: В частности,. Действия над комплексными числами

Решение задач : Дано: z 1 = 3 + 4i и z 2 = i Найти: а) z 1 + z 2 Решение: z 1 + z 2 =(3 + 4i) + (7 + 12i) =(3+7)+(4i +12i)= i Найти: б) z 1 - z 2 Решение: z 1 - z 2 =(3 + 4i) - (7 + 12i)= (3 – 7 )+ (4i - 12i)= i Найти: в) z 1 * z 2 Решение: z 1 * z 2 =(3+4i) · (7+12i)=21 +36i +28i+48i 2 =21+ 64i +48i 2 = i + 48 · (-1)=21+ 64i - 48= i Найти: г) z 1 : z 2 Решение:

Решить самостоятельно: Дано: z 1 = 6 - i и z 2 = 3 + 2i Найти: а) z 1 + z 2 Решение: z 1 + z 2 =(6 - i ) + (4 + 2i) = 9 + i Найти: б) z 1 - z 2 Решение: z 1 - z 2 =(6 - i) - (3 + 2i)= 3 - 3i Найти: в) z 1 * z 2 Решение: z 1 * z 2 =(6 - i) · (3 + 2i)= i Найти: г) z 1 : z 2 Решение: