Висловлення

Історія Слово логіка походить від грецького логос і означає слово, поняття, розум. Тому логіка має безпосереднє відношення до наших міркувань, висновків, правильної побудови речень. Логіка, як наука виникла ще в стародавні часи близько 2,5 тисяч років тому в Індії, Китаї, Греції.

Великий давньогрецький мислитель і філософ Аристотель ( р.до н.е.) заклав основи логіки як науки. Аристотелеву логіку називали ще класичною, формальною логікою. Формальною тому, що вона вивчала форми мислення, не беручи до уваги змісту.

Формальна логіка в Стародавній Греції розвивалась у звязку з геометрією та граматикою. Наприкінці ст. формальна логіка спиралась на природну мову, тому її називали ще традиційною логікою. Пізніше в логіку були введені спеціальні позначення – символи, а також дії

Ідею побудови математичної логіки вперше чітко сформулював великий німецький математик і філософ Лейбніц ( ). А народження математичної логіки відносять до середини 19ст., коли англійський математик Джордж Буль( ) видав свою книгу Математичний аналіз логіки.

Застосування Сучасна логіка знайшла своє широке застосування в математиці, техніці, мовознавстві, біології, фізиці; вона вважається теоретичним фундаментом розвитку кібернетики та створення електронно- обчислювальних машин. Її мета – дослідження того, як з одних істинних тверджень можна вивести інші істинні твердження.

Означення Отже, логіка – це наука про закони і форми правильного мислення.

Основним поняттям у логіці є висловлення. Під висловленням розуміють розповідне речення, яке виражає закінчену думку і про яке можна цілком певно сказати, істинне воно чи хибне. Якщо про речення не можна сказати – істинне воно чи хибне, то воно не буде висловленням.

Питальні та окличні речення також не розглядаються як висловлення. Прості висловлення позначаються великими латинськими буквами А, В, С. Вводяться символічні позначення: 1 – істинне висловлення 0 – хибне висловлення

Сума кутів трикутника дорівнює сто вісімдесят градусів.

Чи буде дане речення висловленням? Так. Оскільки дане речення є висловленням, бо має закінчену думку, то цілком певно можна сказати, що воно є істинним. Отже, А=1.

Речення В 29:3=7

Хибне чи істинне дане речення і чи буде воно висловленням? Дане речення є висловленням, але є хибним, отже В=0

Речення С Котра година?

Дане речення не є висловленням, оскільки не має закінченої думки і ми не можемо сказати – істинне воно чи хибне.

Прості висловлення, які зєднані між собою логічними сполучниками, утворюють складні висловлення.

Конюнкція Складне речення, утворене з двох простих за допомогою сполучника і, називається конюнкцією

Приклад А: Число 15 ділиться на 3 В: Число 15 ділиться на 5 Конюнкція А і В: Число 15 ділиться на 3 і число 15 ділиться на 5.

А: Влітку ми поїдемо в Крим В: Відвідаємо Асканію - Нову Конюнкція А і В : Влітку ми поїдемо в Крим і відвідаємо Асканію- Нову

Означення Конюнкцією (логічним добутком) висловлень А і В називається складне висловлення, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне кожне з висловлень А і В, і хибне, коли принаймні одне із висловлень А чи В хибне.

Дизюнкція Складне речення, утворене з двох простих речень шляхом обєднання їх сполучником або, називається дизюнкцією

Приклади А: По дорозі до школи я зустрічаю Уляну В: По дорозі до школи я зустрічаю Сашка Дизюнкцією А і В: По дорозі до школи я зустрічаю Уляну або Сашка

С: Натуральне число може бути парним Д: Натуральне число може бути непарним Дизюнкцією С і Д: Натуральне число може бути парним або непарним

Дизюнкцією ( логічною сумою) висловлень А і В називається складне висловлення А або В, яке істинне, якщо істинне принаймні одне з висловлень А чи В, і хибне, коли обидва висловлення А і В хибні.

Імплікація Складне речення, утворене з двох простих речень за допомогою сполучника якщо…, то називається імплікацією

Приклади А називають засновком (умовою) В називають висновком (наслідком) А: Число ділиться на 9 В: Число ділиться на 3 Імплікацією А і В: Якщо число ділиться на 9, то воно ділиться на 3

А: У трикутнику два кути рівні В: Трикутник рівнобедрений Імплікацією А і В: Якщо у трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений

Імплікацією висловлень А і В називається висловлення А імплікація В, яке хибне тоді й тільки тоді, коли засновок істинний, а висновок хибний.

Еквіваленція Складне речення, утворене з двох простих за допомогою сполучника тоді і тільки тоді, коли, називається еквіваленцією

Приклади А: Натуральне число ділиться на 3 В: Сума цифр числа ділиться на 3 Еквіваленція А і В: Натуральне число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума цифр даного числа ділиться на 3.

С: Трикутник є прямокутним Д: Один з кутів у трикутнику дорівнює девяносто градусів Еквіваленція А і В: Трикутник – прямокутний тоді і тільки тоді, коли один з його кутів дорівнює девяносто градусів.

Еквіваленцією висловлень А і В називається складне висловлення А рівносильне В, яке істинне тоді й тільки тоді, коли обидва прості висловлення А і В істинні або обидва хибні.

Завдання Складіть таблицю істинності двох висловлень А і В

Таблиця істинності АВ КонюнкціяДизюнкціяімплікаціяеквіваленція

Заперечення Речення, утворене за допомогою частки не, називається запереченням

Приклади А: Трикутник має три вершини Запереченням висловлення А: Трикутник не має три вершини

Означення Запереченням висловлення А називається висловлення не А, яке істинне, якщо А хибне, і хибне, якщо А істинне.

Порядок дій З математики відомо, що, маючи вираз, ми спочатку виконуємо дії множення, ділення, а потім додавання, віднімання. Якщо у виразі є дужки, то виконуємо спочатку дії в дужках. У логіці дії мають певний порядок:

Заперечення Конюнкція Дизюнкція Імплікація Еквіваленція

Висновок Математика й логіка розум у порядок приводять